Եթե մի եռանկյան երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու անկյուններին, ապա եռանկյունները նման են:
Եթե ∠B=∠E և ∠C=∠F, ապա ΔABC∼ΔDEF
Եռանկյունների նմանության երկրորդ հայտանիշը․
Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երկու կողմերին, իսկ այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունները նման են:
Եթե AB/DE=AC/DF և ∠A=∠D, ապա ΔABC∼ΔDEF
Եռանկյունների նմանության երրորդ հայտանիշը․
Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա եռանկյունները նման են:
Եթե AB/DE=BC/EF=AC/DF, ապա ΔABC∼ΔDEF
Խնդիրներ լուծելիս, սկզբում պետք է համոզվել, որ տրված եռանկյունները նման են: Եթե եռանկյունների նմանությունը տրված չէ, ապա դա պետք է ապացուցել:
Առաջադրանքներ․
1․ Ո՞ր հայտարիշի համաձայն են նման ΔBEC∼ΔBDA եռանկյունները:
երկու անկյունները հավասար են
երկու կողմերը համեմատական են, և նրանցով կազմված անկյունները հավասար են
երեք կողմերը համեմատական են
2. Հաշվել CE հատվածի ե րկարությունը, եթե AD=12 սմ, AB=16 սմ, BC=3.2 սմ:
3․ Ո՞ր եռանկյուններն են նման:
4․ Նմա՞ն են ABC և A1B1C1 եռանկյունները, եթե AB = 3մ, BC = 4մ, AC = 6մ, A1B1 = 9մ, B1C1 = 12մ , A1C1 = 18մ:
5․ Տրված է, որ BE-ն ABC անկյան կիսորդն է, և DA⊥BA և CE⊥BC։ Գտնել EB-ն, եթե DA=15 սմ, BA=20 սմ, CE=7.5 սմ: Սկզբում ապացուցել եռանկյունների նմանությունը:
6․ Տրված է ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: ∠A=90°, VN⊥BC, NV=7 մ, NC=8 մ, AC=16 մ: Հաշվել AB-ն։ Սկզբում ապացուցել եռանկյունների նմանությունը:
Անհավասարումը, որը նույնական ձևափոխություններով բերվում է ax2 + bx + c > 0 կամ ax2 + bx + c ≥ 0 անհավասարմանը, որտեղ a, b, c տրված թվեր են, ընդ որում ՝ a ≠ 0, անվանում ենք մեկ փոփոխականով երկրորդ կարգի անհավասարում կամ պարզապես քառակուսային անհավասարում։
Քառակուսային անհավասարման լուծումների բազմությունը հեշտ կարելի է պարզել՝ մոտավորապես կառուցելով նրա գրաֆիկը (պարաբոլը):
Քառակուսային անհավասարման լուծման քայլերը:
1. Լուծելով ax2+bx+c=0 քառակուսային հավասարումը, գտնում ենք պարաբոլի հատման կետերը x-երի առանցքի հետ:
2. Հաշվի առնելով արմատների քանակը և a գործակցի նշանը` պարաբոլը մոտավորապես գծվում է:
Ուշադրություն
Եթե a>0, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վերև, իսկ եթե a<0, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի ներքև:
Խորհուրդ
Եթե ուզում ես, որ պարաբոլի ճյուղերը ուղղված լինեն դեպի վերև, ապա a<0 դեպքում անհավասարման երկու մասերը բազմապատկիր (−1)-ով: Չմոռանաս, որ այդ դեպքում փոխվում է նաև անհավասարման նշանը:
3. Անհավասարման նշանից կախված՝ ընտրում ենք հատման կետերի նշանակումը:
Ընտրում ենք ∙ նշանակումը, եթե անհավասարման նշանը ոչ խիստ է՝ «≤» կամ «≥»
Ընտրում ենք о նշանակումը, եթե անհավասարման նշանը խիստ է՝ «<» կամ «<»
4. Կոորդինատային առանցքի վրա նշում ենք ճիշտ միջակայքը:
1․ ABC և MNK եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 3, 5 : Գտեք MNK եռանկյան կողմերը, եթե ABC եռանկյան կողմերը 14 դմ, 8 դմ և 17 դմ են:
2․ Նմա՞ն են, արդյոք, ABC և DEF եռանկյունները, եթե ∠A = 108օ, ∠B = 32օ, ∠E = 108օ, ∠F = 40օ, AC = 4,4սմ, AB = 5,2սմ, BC = 7,6սմ, DE = 15,6սմ, DF = 22,8սմ, EF = 13,2սմ:
3․ ABC և KMN նման եռանկյունների մեջ AB և KM, BC և MN կողմերը նմանակ են։ Գտնել KMN եռանկյան կողմերը, եթե AB = 6 սմ, BC = 5 սմ, CA = 9 սմ , KM/AB = 2,4։
4․ KPF և EMT եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ KP/ME = PF/MT = KF/ET, ∠F = 30օ, ∠E = 50օ: Գտնել այդ եռանկյունների մյուս անկյունները։
5․ Նման եռանկյունների երկու նմանակ կողմերն են 2 սմ և 5 սմ։ Առաջին եռանկյան մյուս երկու կողմերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտնել երկրորդ եռանկյան պարագիծը:
6․ Նման ուղղանկյուն եռանկյունների երկու նմանակ կողմերը հարաբերում են, ինչպես 2 : 3: Նրանցից առաջինի էջերն են 6 սմ և 8 սմ։ Գտնել յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսը։
Երկու եռանկյուններ կոչվում են նման, եթե նրանց անկյունները համապատասխանաբար հավասար են, և եռանկյուններից մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի համապատասխան կողմերին: AB-ն ու A1B1-ը, BC-ն ու B1C1-ը, AC-ն ու A1C1-ը կոչվում են նմանակ կողմեր:
Ուրեմն ABC և A1B1C եռանկյունները կոչվում են նման, եթե տեղի ունեն հետևյալ պայմանները. ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁,
Տրված են ABC և DEF եռանկյունները:
Եթե տրված է, որ AB/DE=BC/EF=AC/DF=k և ∠A=∠D; ∠B=∠E; ∠C=∠F, ապա կարելի է եզրակացնել, որ եռանկյունները նման են:
Այս հանգամանքը գրում ենք այսպես՝ ΔABC∼ΔDEF
Եռանկյունների նմանությունը գրելիս կարևոր է եռանկյունների տառերը գրել ճիշտ հերթականությամբ:
Հավասար անկյուններին համապատասխանում են որոշակի տառեր:
k թիվը, որը հավասար է նման եռանկյունների համապատասխան կողմերի հարաբերությանը, կոչվում է եռանկյունների նմանության գործակից:
Առաջադրանքներ։
1․ Նմա՞ն են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե ∠A = A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C=∠C₁, AB = 12 սմ, BC = 8 սմ, AC = 18 սմ, A₁B₁= 6 սմ, B₁C₁ = 4 սմ, A₁C₁ = 9 սմ:
Այո
2. ABC և KMN եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ AB/MN = BC/NK = AC/MK: ABC և KMN եռանկյունների ո՞ր անկյուններն են համապատասխանաբար հավասար:
7/14= A₁C₁/9 1/2= A₁C₁/9 2 A₁C₁=9 A₁C₁=4,5
3. DC և MN հատվածները երկու նման եռանկյունների կողմերն են, ընդ որում՝ եռանկյուններում դրանց դիմաց ընկած են հավասար անկյուններ: Գտնել MN հատվածի երկարությունը, եթե DC=19մ և DC/MN=4/13
բոլոր անկյունները
4․ ABC և LNM եռանկյունները նման են k=9 նմանության գործակցով: BC և NM հատվածներն այդ եռանկյունների կողմերն են, որոնց դիմաց՝ եռանկյուններում գտնվում են հավասար անկյուններ: Գտնել BC կողմի երկարությունը, եթե NM=10մմ:
9 սմ
5․ BCA և MKL եռանկյունները նման են, ընդ որում BC, MK և CA, KL կողմերը զույգ առ զույգ համեմատական են: Հաշվել MK կողմի երկարությունը, եթե BC=2սմ, CA=18սմ և KL=54սմ:
К…саюсь стены, к…снуться трудного вопроса, к…сается ногами коврика, тебя не к…сается, нас к…снется
В корнях -лаг-/-лож- пишется а, если за корнем следует суффикс -а- (предлагать), и о, если суффикс отсутствует (предложить). В корнях -кас-/-кос- пишется а, если есть суффикс -а- (касаться), и о, если суффикс отсутствует (коснуться).
В корнях -раст- и -ращ- всегда пишется буква А, так как за ними следуют СТ или Щ. В корне -рос- пишется О. Исключения составляют слова «исключения» с другими правилами, такие как «рост», «росток», «Ростислав», «ростовщик», «отрасль», «на вырост».
Корень
Примеры
-раст- / -ращ-
рАстение, вырАщивать, подрАсти
-рос-
вырОсли, нарОс
Важно: Исключения из правила — слова «росток», «ростовщик», «Ростислав», «отрасль», «на вырост», в которых пишется О, несмотря на последующие
гласные.
Задание . Вставьте пропущенные буквы. Графически объясните выбор орфограммы.
Р…стет вниз головой, в землю вр…сла, скоро выр…с куст, р…стовщик, р…стение, отр….слевой, одежда на выр…ст, его зовут Р…стислав.
Задание 4. Озаглавьте текст. Выпишите из него все слова с чередующимися гласными в корне слова.
Мы предполагали выехать рано, но задержались.
Вдоль дороги, кроме кустарниковой поросли, не было видно никакой другой растительности. В полдень мы расположились на отдых у озера, заросшего камышом. Загорелые ребятишки плавали на самой его середине на плоту. Солнце пекло так, что к песку нельзя было прикоснуться. В лучах солнца озеро блестело, как зеркало.
Догорала вечерняя зорька, когда мы вернулись домой.
2.Упражнение 33. Вставьте пропущенные гласные е или и.
Տրված գոյականները ածանցների օգնությամբ դարձրու ածականներ: Գիր-գրավոր
հուր-հրեա, հրային
աղջիկ-աղջկական
անուն-անանուն
կարգ-կարգավոր
գիշեր-գիշերային
ցավ-ցավալի
վարձ-վարձատու
ապակի-ապակյա
շող-շողացող
դաս-դասական
հույզ-հույզոտ
աշուն-աշնանային
հրապույր-հրապուրիչ
ժպիտ-ժպտերես
մայր-մայրական
2. Առաջին և երկրորդ շարքերի համապատասխան արմատներով կազմիր 6 բարդ ածական: ա. հաստ, թանկ, խիստ, տերև, առատ, հորդ բ. շունչ, զուրկ, ձեռն, արժեք, բուն, առատ:
Stop worrying about your exam – everything will be fine.
I’ve waited for Judy for 30 minutes. I’m going home.
Stop talking and concentrate on your work.
Don’t forget to pay for the newspaper.
He explained the computer program to me.
I don’t know what we’ll do at the weekend. It depends on the weather.
She will arrive in Beijing at 3pm.
I like to listen to the radio when I wake up.
He borrowed £20 from his brother.
Who does this coat belong to ?
She left without paying for the meal.
It was so hot, I couldn’t concentrate on my book.
Mothers always worry about their children.
Please explain the meaning of this word to your classmates.
I’m fed up with waiting for spring.
That car belongs to my father.
She listens to opera on the tube.
A: Which university will you go to? B: It depends on my exam results.
A lot of people borrow money from the bank.
When she arrived at the pub, it was already closed.
Tenses.
Use the verbs in brackets to complete the sentences. Use the correct tense. When I looked out of the window, I saw John. Have you ever played the piano since you left school? I haven’t seen him for two days. When he tried to open the door, he dropped his key. They have lived in this house since 1987. My father was washing his car while my mother and I were preparing dinner. Did you meet her yesterday? Mary has been in London for three days. The headmaster entered the classroom when they were writing their exams. He bought a new car last week. I think that they will arrive tomorrow morning. Last Wednesday they played chess after they had done their homework.
Կառուցենք y = ax2 + bx + c քառակուսային եռանդամի գրաֆիկը։ Լրիվ քառակուսի անջատելու ax2 + bx + c = a(x + b/2a )2 − D/4a բանաձևը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ. ax2 + bx + c = a (x − (− b /2a )) 2 + (− D)/4a : Նշանակելով x0 = − b/2a և y0 = − D4/a ՝ ստանում ենք. a x2 + bx + c = a(x − x0)2 + y0: Փաստորեն, y = ax2 + bx + c ֆունկցիան կարող ենք գրել y = a(x − x0)2 + y0 տեսքով, որտեղ x0 = − b/2a և y0 = − D/4a : Նախորդ դասից գիտենք, որ y = a(x − x0)2 + y0 ֆունկցիայի գրաֆիկը (x0, y0) գագաթով ու y-ների առանցքի երկայնքով a անգամ ձգած պարաբոլ է: Կանոն՝ y = ax2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով a անգամ ձգած և (− b/2a , − D/4a ) գագաթով պարաբոլ է։
1) Եթե քառակուսային եռանդամի տարբերիչը դրական է (D > 0), ապա եռանդամը վերլուծվում է արտադրիչների՝ y = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)։ Այստեղից պարզ է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքը հատում է x1 և x2 կետերում։ 2) Երբ D = 0, ապա x1 = x2, և ֆունկցիայի գրաֆիկը շոշափում է x-երի առանցքը։ 3) D < 0 դեպքում ax2 + bx + c = 0 հավասարումը լուծում չունի, և ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքը չի հատում։ Դրանում կարող ենք համոզվել նաև հետևյալ կերպ. • Եթե a > 0, ապա y0 = − D/4a > 0, այսինքն՝ պարաբոլի գագաթը գտնվում է x-երի առանցքից վերև։ Քանի որ պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են վերև (a > 0), ուրեմն պարաբոլը x-երի առանցքը չի հատի։ • Եթե a < 0, ապա y0 = − D/4a < 0, այսինքն՝ պարաբոլի գագաթը գտնվում է x-երի առանցքից ներքև։ Քանի որ պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են ներքև (a < 0), ուրեմն պարաբոլը x-երի առանցքը չի հատի։
Առաջադրանքներ
1․ Գտնել նշված քառակուսային եռանդամի գրաֆիկի գագաթի կոորդինատները. ա) y = x2 − 5x + 3, բ) y = x2 + 6x − 3, գ) y = − 2x2 − 10x + 1, դ) y = − 3 x2 + 12x − 5։
2․ Գծել քառակուսային եռանդամի գրաֆիկը։ ա) y = x2 + 6x + 4, բ) y = x2 − 4x + 1, գ) y = 2x2 − 4x + 6, դ) y = − x2 − 4x + 1, ե) y = − x2 + 4x − 7
3․ Տրված է f(x) = ax2 + bx + c քառակուսային եռանդամը, որի գրաֆիկի գագաթը (1, 3) կոորդինատներով կետն է։ Գտե՛ք ա) 2f(x), բ) − 3f(x) քառակուսային եռանդամի գրաֆիկի գագաթի կոորդինատները։
4․ Գծել քառակուսային եռանդամի գրաֆիկը։ Գտնել այդ գրաֆիկի գագաթն ու զրոները. ա) x2 + 4x − 5, բ) -2x2 +8 x + 6 գ) 5x2 − 15x + 10, դ) 4x2 − 9x + 10
5․ Տրված է f(x) = ax2 + bx + c քառակուսային եռանդամը, ընդ որում ՝ a < 0, D > 0: Հնարավո՞ր է, որ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի գագաթը լինի. ա) առաջին քառորդում, բ) երկրորդ քառորդում, գ) երրորդ քառորդում, դ) չորրորդ քառորդում։
Կառուցենք y = ax2 + bx + c քառակուսային եռանդամի գրաֆիկը։ Լրիվ քառակուսի անջատելու ax2 + bx + c = a(x + b/2a )2 − D/4a բանաձևը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ. ax2 + bx + c = a (x − (− b /2a )) 2 + (− D)/4a : Նշանակելով x0 = − b/2a և y0 = − D4/a ՝ ստանում ենք. a x2 + bx + c = a(x − x0)2 + y0: Փաստորեն, y = ax2 + bx + c ֆունկցիան կարող ենք գրել y = a(x − x0)2 + y0 տեսքով, որտեղ x0 = − b/2a և y0 = − D/4a : Նախորդ դասից գիտենք, որ y = a(x − x0)2 + y0 ֆունկցիայի գրաֆիկը (x0, y0) գագաթով ու y-ների առանցքի երկայնքով a անգամ ձգած պարաբոլ է: Կանոն՝ y = ax2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով a անգամ ձգած և (− b/2a , − D/4a ) գագաթով պարաբոլ է։
1) Եթե քառակուսային եռանդամի տարբերիչը դրական է (D > 0), ապա եռանդամը վերլուծվում է արտադրիչների՝ y = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)։ Այստեղից պարզ է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքը հատում է x1 և x2 կետերում։ 2) Երբ D = 0, ապա x1 = x2, և ֆունկցիայի գրաֆիկը շոշափում է x-երի առանցքը։ 3) D < 0 դեպքում ax2 + bx + c = 0 հավասարումը լուծում չունի, և ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքը չի հատում։ Դրանում կարող ենք համոզվել նաև հետևյալ կերպ. • Եթե a > 0, ապա y0 = − D/4a > 0, այսինքն՝ պարաբոլի գագաթը գտնվում է x-երի առանցքից վերև։ Քանի որ պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են վերև (a > 0), ուրեմն պարաբոլը x-երի առանցքը չի հատի։ • Եթե a < 0, ապա y0 = − D/4a < 0, այսինքն՝ պարաբոլի գագաթը գտնվում է x-երի առանցքից ներքև։ Քանի որ պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են ներքև (a < 0), ուրեմն պարաբոլը x-երի առանցքը չի հատի։
Առաջադրանքներ
1․ Գտնել նշված քառակուսային եռանդամի գրաֆիկի գագաթի կոորդինատները. ա) y = x2 − 5x + 3
բ) y = x2 + 6x − 3
գ) y = − 2x2 − 10x + 1
դ) y = − 3 x2 + 12x − 5
2․ Գծել քառակուսային եռանդամի գրաֆիկը։ ա) y = x2 + 6x + 4, բ) y = x2 − 4x + 1, գ) y = 2x2 − 4x + 6, դ) y = − x2 − 4x + 1, ե) y = − x2 + 4x − 7
3․ Տրված է f(x) = ax2 + bx + c քառակուսային եռանդամը, որի գրաֆիկի գագաթը (1, 3) կոորդինատներով կետն է։ Գտե՛ք ա) 2f(x), բ) − 3f(x) քառակուսային եռանդամի գրաֆիկի գագաթի կոորդինատները։
4․ Գծել քառակուսային եռանդամի գրաֆիկը։ Գտնել այդ գրաֆիկի գագաթն ու զրոները. ա) x2 + 4x − 5, բ) -2x2 +8 x + 6 գ) 5x2 − 15x + 10, դ) 4x2 − 9x + 10
5․ Տրված է f(x) = ax2 + bx + c քառակուսային եռանդամը, ընդ որում ՝ a < 0, D > 0: Հնարավո՞ր է, որ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի գագաթը լինի. ա) առաջին քառորդում, բ) երկրորդ քառորդում, գ) երրորդ քառորդում, դ) չորրորդ քառորդում։
Խորեն Սարգսյանի բլոգ 