Խորեն Սարգսյանի բլոգ

Թեմա՝ Քառակուսային անհավասարման լուծումը, երբ D>0 ամրապնդում։

Թերի քառակուսային անհավասարումներում արտադրիչների վերլուծելը ավելի է հեշտանում ։ Օրինակ 1․ Լուծենք 2x² − 7x > 0 անհավասարումը։
2 x² − 7x > 0,
x(2x − 7) > 0,
2x(x − 3.5) > 0,
x ∈ (− ∞, 0) ∪ (3.5, + ∞):
Օրինակ 2․ Լուծենք − 3x² + 24 ≥ 0 անհավասարումը։
− 3 x² + 24 ≥ 0,
3x² − 24 ≤ 0,
x² − 8 ≤ 0,
(x − √8 )(x + √8 ) ≤ 0 x ∈ [− √8 , √8 ]:

Առաջադրանքներ։

1․ Տրված է ax² + bx + c > 0 անհավասարումը, որի լուծումների բազմությունն է (− ∞, 5) ∪ (8, + ∞)։
Գտնել ա) ax² + bx + c ≤ 0, բ) − ax² − bx − c ≥ 0 անհավասարման լուծումների բազմությունը։
2․ Հայտնի է, որ (− ∞, − 5) ∪ (−1, + ∞)-ը ax² + bx + c > 0 անհավասարման լուծումների բազմությունն է։ Գտնել − ax² − bx − c > 0 անհավասարման լուծումների բազմությունը։
3. Լուծել քառակուսային անհավասարումը.
ա) 2x² + 6 > 2(4x + 3), բ) (x + 2)² < x²  + (x − 2)² , գ) 2x²  − 2(x + 1)²  < (x + 1)(x − 2),

4․ Լուծել անհավասարումը՝ օգտագործելով a² − b² = (a − b)(a + b) կրճատ բազմապատկման
բանաձևը.
ա) x² − 5 > 0, բ) (x − 2)² − 4 ≥ 0, գ) (x + 4)² − 9 ≤ 0, դ) − (x + 1)² + 4 > 0,
 ԼՈՒԾՈՒՄ։ դ) Անհավասարման երկու կողմը բաժանենք − 1-ի.
(x + 1)² − 4 < 0:
Անհավասարման ձախ մասը ձևափոխենք.
(x + 1)² − 4 = (x + 1)² − 2² = (x + 1 − 2)(x + 1 + 2) = (x − 1)(x + 3):
Ստացանք (x − 1)(x + 3)<0 անհավասարումը, որի լուծումն է՝ x ∈ (− 3, 1)։

5․ Լուծել (x+4)(x+7)≤0 անհավասարումը:

Թեմա՝ Քառակուսային անհավասարման լուծումը, երբ D >0:

Առաջադրանքներ։

1․ Անհավասարումը կրճատե՛ք նպատակահարմար թվով և լուծե՛ք այն.
ա) 5x² + 15x + 10 ≥ 0, բ) 2x² − 14x + 12 > 0, գ) 15x² + 24x − 9 < 0, դ) 8x² − 24x + 12 ≤ 0:

2․ Կազմել քառակուսային անհավասարում, որի լուծումների բազմությունը լինի նշված բազմությունը․

ա) (− ∞, 3) ∪ (5, + ∞), բ) (4, 7), գ) (−∞, − 5] ∪ [1, + ∞), դ) (− ∞, 6) ∪ (10, + ∞), ե) (− ∞, 0] ∪ [7, + ∞), զ) (− ∞, − 2) ∪ (3, + ∞),
3․ Աստղանիշը փոխարինել > , < , ≥ , ≤նշաններից մեկով, որ ստացված անհավասարման լուծումների բազմությունը լինի համապատասխան բազմությունը․
ա) x² + 7x + 12 * 0, x∈ [−4, − 3], բ) x² + 3x − 10 *  0, x ∈ (− ∞, − 5] ∪ [2, + ∞),
գ) x² − 5x + 6 * 0, x ∈ (− ∞, 2) ∪ (3, + ∞), դ) x² − 6x + 8 *  0, x ∈ (2, 4),
ե) − x² − 3x − 2 * 0, x ∈ [−2, − 1], զ) − x² − 4x + 5 * 0, x ∈ (− ∞, − 5) ∪ (1, + ∞):

4․ Գտնել b-ն ու c-ն, եթե հայտնի է, որ x ² + bx + c ≥ 0 անհավասարման լուծումների
բազմությունն է ա) (− ∞, − 5] ∪ [−3, + ∞), բ) (− ∞, 2] ∪ [7, + ∞)։

5․ Դիցուք, − 2x² + bx + c > 0 անհավասարման լուծումների բազմությունն է ա) (− 1, 5), բ) (4, 8)։ Գտնել b-ն ու c-ն։

6․ Դիցուք, ax² + bx + c ≥ 0 անհավասարման լուծումների բազմությունն է ա) (− ∞, − 2.5] ∪ [4, + ∞),
բ) [−2, 4]։ Գտնել a-ի նշանը։

Թեմա՝ Քառակուսային անհավասարման լուծումը, երբ D >0:

Այս դասին ուսումնասիրելու ենք քառակուսային անհավասարումների լուծման եղանակները։ Նույնական ձևափոխություններով անհավասարումը կարող ենք բերել ax²  + bx + c > 0, ax²  + bx + c ≥ 0, ax²  + bx + c < 0 կամ ax²  + bx + c ≤ 0 տեսքի։ Այս չորս տեսքի անհավասարումների լուծման մեթոդներն իրար նման են, և շատ բան կախված է քառակուսային եռանդամի տարբերիչի՝ D = b²  − 4ac արտահայտության նշանից։ Դիտարկենք այդ դեպքերն առանձին-առանձին՝ համապատասխան օրինակներով։ Այս դասին կուսումնասիրենք միայն D > 0 դեպքը։ Այդ դեպքում -եռանդամը վերլուծվում է արտադրիչների՝ ax²  + bx + c = a(x − x₁ )(x − x₂ ), որտեղ x₁ -ն ու x₂ -ը ax²  + bx + c = 0 հավասարման արմատներն են։ Այս դեպքում ax²  + bx + c > 0 անհավասարումը կարող ենք ձևափոխել հետևյալ տեսքի a(x − x₁)(x − x₂) > 0։

Օրինակ 1․ Լուծենք 2x² − 9x + 7 > 0 անհավասարումը։
Լուծում։ Անհավասարման ձախ մասը վերլուծենք արտադրիչների.
2x²− 9x + 7 = 0,
D = (− 9)² − 4 ⋅ 2 ⋅ 7 = 25,
x₁ = (9 − 5)/2 ⋅ 2  = 1, x₂ = (9 + 5)/2 ⋅ 2  = 3.5:
Փաստորեն, ստանում ենք հետևյալ համարժեք անհավասարումը.
2(x − 1)(x − 3.5) > 0:
Անհավասարման լուծումներն x-ի այն արժեքներն են, որոնց դեպքում 2(x − 1)(x − 3.5) արտահայտության արժեքը դրական է։Այդ արժեքները կարող ենք գտնել երկու եղանակով՝ միջակայքերի ու գրաֆիկական:
Միջակայքերի եղանակ`
Որոշենք 2(x — 1)(x — 3.5) արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը:

(−∞, 1) և (3.5, + ∞) միջակայքերում արտահայտությունը դրական է։ Այդ միջակայքերի միավո­րումը՝ (−∞, 1) ∪ (3.5, + ∞) բազմությունը, կլինի անհավասարման լուծում:Բազմությունը կարող ենք պատկերել կոորդինատային առանցքի վրա: 1 և 3.5 կետերը նշված են ոչ հոծ (դատարկ), քանի որ անհավասարման լուծումներ չեն.

Գրաֆիկական եղանակ`
Գծենք y = 2(x — 1)(x — 3.5) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են վերև, իսկ x-երի առանցքը հատում է 1 և 3.5 կետերում։ Գրաֆիկը կունենա նկարում պատկերված տեսքը: Ֆունկցիայի արժեքը դրական է (- ∞, 1) U (3.5, +∞) բազմության
կետերում:

Օրինակ 2.
Լուծենք x² — 7x + 10 <= 0 անհավասարումը։
Բազմանդամի արմատներն են 2 և 5 թվերը: Այն վերլուծելով արտադրիչների՝ ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը.
(x — 2)(x — 5) <= 0
Ուսումնասիրելով նշանապահպանման միջակայքերը՝ տեսնում ենք, որ (2, 5) միջակայքում արտահայտությունը բացասական է։ Քանի որ արտահայտությունն ընդունում է 0 արժեքը 2 և 5 կետերում, ուրեմն լուծումը կլինի [2, 5] հատվածը (փակ միջակայքը).

ax² + bx + c ≥ 0 ոչ խիստ անհավասարումը լուծվում է նույն կերպով, ինչ ax² + bx + c > 0 խիստ անհավասարումը։ Միակ տարբերությունն այն է, որ ax² + bx + c եռանդամի արմատները կլինեն
անհավասարման լուծում, քանի որ այդ կետերում արտահայտության արժեքը 0 է և բավարարում է անհավասարմանը։

Չշփոթվելու համար նպատակահարմար է քառակուսային անհավասարումը ձևափոխել այնպես, որ ավագ անդամի գործակիցը լինի դրական։

Առաջադրանքներ։

1. Լուծել անհավասարումը.
ա) (x − 6)(x + 9)<0, բ) (x + 4)(x − 3)≥0 , գ) (x − 5)(x + 1)≥0, դ) (2x + 5)(x + 5)≤0, ե) 8(x − 3 )(x + 8)>0։
2․ Լուծել անհավասարումը.
ա) x² − 8x + 5 >− 2, բ) 4x² + 11x − 14 ≤ −x + 2, գ) − 2x² + 6x + 5 < −x² + 5x−  1, դ) 6x²+8x-9 ≥ 4x²+4x+7, ե) 2x²+9x — 6 < x²+5x — 1
 3․ Անհավասարումը լուծել միջակայքերի եղանակով.
ա) x² − 6x + 5 > 0, բ) − x² + 9x + 10 ≥ 0, գ) 3x² + 12x + 4 ≤ − 5, դ) 4x² + 14x − 5 > − 15։
4․ Անհավասարումը լուծե՛ք գրաֆիկական եղանակով.
ա) x² + 6x − 7 > 0, բ) − x² + 4x − 3 ≤ 0, գ) − 3x² − 12x + 7 < − 8, դ) − 4x² − 6x + 5 ≥ 7։
 5․ Անհավասարումը ձևափոխել այնպես, որ ավագ անդամի գործակիցը լինի դրական, այնու-
հետև լուծել.
ա) − 3 x² + 5x − 2 < 0, բ) − x²  + 9x + 10 ≥ 0, գ) − 5 x²  − 9x − 4 ≤ 0, դ) − 2 x²  + 7x − 5 > 0:

Տնային

Սովորել (Հիմքեր էջ15)

1. Գրիր հետևյալ հիդրօքսիդների բանաձևերը.

ա) նատրիումի հիդրօքսիդ-NaOH
բ) կալցիումի հիդրօքսիդ-CaOH
գ) երկաթ(III)-ի հիդրօքսիդ-Fe(OH)₃

2.Դասակարգիր՝ հիմք, թթու,աղ.

NaOH, HCl,KOH,Cu(OH)₂

Հիմքեր – NaOH, KOH, Cu(OH)₂:
Աղեր – HCl:

3. Նշիր՝ լուծելի, թե ոչ.

ա) NaOH-Այո
բ) Ba(OH)₂-Այո
գ) Fe(OH)₃-Ոչ
դ) Al(OH)₃-Ոչ

4. Գրիր ռեակցիաները.

ա) NaOH + HCl →
բ) Ca(OH)₂ + CO₂ →
գ) Fe(OH)₃ → (տաքացնելիս)
դ) Al(OH)₃ + HNO₃ →

Թեմա՝ Եռանկյունների նմանության հայտանիշները։

1․ Ապացուցել, որ նկարում պատկերված եռանկյունները նման են։

2․ ABCD զուգահեռագծի CD կողմի վրա նշված է E կետը: AE և BC ուղիղները հատվում են F կետում։ Գտնել ա) EF–ը և FC-ն, եթե DE = 8 uմ, EC = 4 սմ, BC = 7 սմ, AE = 10 սմ,
բ) DE–ն և EC-ն, եթե AB = 8 սմ, AD = 5 սմ, CF = 2 սմ:

3․ O գագաթով անկյան կողմերից մեկի վրա վերցված են A և B, իսկ մյուսի վրա C և D կետերը այնպես, որ AO = 4 սմ, BO = 7սմ, OC =12 սմ, OD = 21սմ: Նման են OAC և OBD եռանկյունները:

4․ AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում։ Գտեք`
ա) AB–ն, եթե OB = 4սմ, OD = 10 սմ, DC = 25 սմ,
բ) (AO)/(OC)-ն և (BO)/(OD) -ն եթե AB = a, DC = b
գ) AO-ն, եթե AB = 9,6 դմ, DC = 24 սմ, AC = 15 սմ:4

5․ Նման են, արդյոք, երկու ուղղանկյուն եռանկյունները, եթե դրանցից մեկն ունի 40°–ի անկյուն, իսկ մյուսը` ա) 50°–ին հավասար անկյուն, բ) 60°–ին հավասար անկյուն։

6․ Նման են, արդյոք, ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե`
ա) AB = 3 սմ, BC = 5 սմ, CA = 7 սմ, A₁B₁ = 4,5 սմ, B₁C₁ = 7,5 սմ, C₁A₁ = 10,5 սմ
բ) AB = 1,7 սմ, BC = 3 սմ, CA = 4,2 սմ, A₁B₁ = 34 դմ, B₁C₁ = 60 դմ, C₁A₁ = 84 դմ

Սովորել

1. Ներկայացրե՛ք H2CO3, H₂SiO3, HNO3, H3PO4 և HCIO4, թթուների էլեկտրոլիտային դիսոցման հավասարումները և թթու առաջացնող տար րերի օքսիդացման աստիճանները:

H2CO3=H⁺ + HCO3^– ->H⁺+CO3^–
C⁺⁴
H₂SiO3= H⁺ + HSiO₃^– ->H⁺+SiO₃^–
Si⁺⁴
HNO3= H⁺ + NO₃^–
Ni⁺⁵
H3PO4= H⁺ + H₂PO₄^–
P⁺⁵
HCIO4=H⁺ + ClO₄^–
Cl⁺⁷

2. Որոն՞ք են H3PO4, H3BO3, HClO , HMnO4 թթուներին համապատասխանող օքսիդների բանաձևերը:

H3PO4—H3+PO4
H3BO3—H3+B+O3
HClO—H+CI+O
HMnO4—H+MN+O4

3. Արտածե՛ք այն թթուների բանաձևերը, որոնց բաղադրությունը (ըստ զանգվածի) ներկայացված է ստորև.

ш) Н` 1,59%,

N 22,22%,

Ο` 76,19%

բ) H` 3,06%,

P` 31,63%,

Ο` 65,31%

4. Ավտոմեքենայի կուտակիչում որպես թթու օգտագործվում է`

1. աղաթթու

3. ազոտական թթու

2. քացախաթթու

4. ծծմբական թթու

5. 4 գ MgO-ն լուծել են ազոտական թթվի լուծույթի մեջ: Որոշե՛ք ստացված աղի նյութաքանակը և զանգվածը:

Թեմա՝ Եռանկյունների նմանության հայտանիշները։

Եռանկյունների նմանության առաջին հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու անկյուններին, ապա եռանկյունները նման են:  

Եթե ∠B=∠E և ∠C=∠F, ապա ΔABC∼ΔDEF

Եռանկյունների նմանության երկրորդ հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երկու կողմերին, իսկ այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունները նման են:

Եթե AB/DE=AC/DF և ∠A=∠D, ապա ΔABC∼ΔDEF

Եռանկյունների նմանության երրորդ հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա եռանկյունները նման են:

Եթե AB/DE=BC/EF=AC/DF, ապա ΔABC∼ΔDEF

Խնդիրներ լուծելիս, սկզբում պետք է համոզվել, որ տրված եռանկյունները նման են: Եթե եռանկյունների նմանությունը տրված չէ, ապա դա պետք է ապացուցել:

Առաջադրանքներ․

1․ Ո՞ր հայտարիշի համաձայն են նման ΔBEC∼ΔBDA եռանկյունները:

• երկու անկյունները հավասար են
• երկու կողմերը համեմատական են, և նրանցով կազմված անկյունները հավասար են
• երեք կողմերը համեմատական են

2. Հաշվել CE հատվածի ե րկարությունը, եթե AD=12 սմ, AB=16 սմ, BC=3.2 սմ:

3․ Ո՞ր եռանկյուններն են նման:

4․ Նմա՞ն են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե AB = 3մ, BC = 4մ, AC = 6մ, A₁B₁ = 9մ, B₁C₁ = 12մ , A₁C₁ = 18մ:

5․ Տրված է, որ BE-ն ABC անկյան կիսորդն է, և DA⊥BA և CE⊥BC։ Գտնել EB-ն,  եթե  DA=15  սմ,  BA=20 սմ, CE=7.5 սմ: Սկզբում ապացուցել եռանկյունների նմանությունը:

6․ Տրված է ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: ∠A=90°, VN⊥BC, NV=7 մ, NC=8 մ, AC=16 մ: Հաշվել  AB-ն։ Սկզբում ապացուցել եռանկյունների նմանությունը:

7․ Ըստ նկարների տվյալների՝ գտնել x–ը և y–ը։

Անհավասարումը, որը նույնական ձևափոխություններով բերվում է ax² + bx + c > 0 կամ
ax² + bx + c ≥ 0 անհավասարմանը, որտեղ a, b, c տրված թվեր են, ընդ որում ՝ a ≠ 0, անվանում ենք մեկ փոփոխականով երկրորդ կարգի անհավասարում կամ պարզապես քառակուսային անհավասարում։

Քառակուսային անհավասարման լուծումների բազմությունը հեշտ կարելի է պարզել՝  մոտավորապես կառուցելով նրա գրաֆիկը (պարաբոլը):

Քառակուսային անհավասարման լուծման քայլերը:

1. Լուծելով  ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարումը, գտնում ենք պարաբոլի հատման կետերը  x-երի առանցքի հետ:

Հիշենք քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևերը: D=b²−4ac x₁=(−b+√D)/2a, x₂=(−b−√D)/2a

2. Հաշվի առնելով արմատների քանակը և a գործակցի նշանը` պարաբոլը մոտավորապես գծվում է: 

Ուշադրություն

Եթե a>0, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վերև, իսկ եթե a<0, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի ներքև:

Խորհուրդ

Եթե ուզում ես, որ պարաբոլի ճյուղերը ուղղված լինեն դեպի վերև, ապա a<0 դեպքում անհավասարման երկու մասերը բազմապատկիր (−1)-ով: Չմոռանաս, որ այդ դեպքում փոխվում է նաև անհավասարման նշանը:

3. Անհավասարման նշանից կախված՝ ընտրում ենք հատման կետերի նշանակումը:

Ընտրում ենք ∙ նշանակումը, եթե անհավասարման նշանը ոչ խիստ է՝ «≤» կամ «≥»

Ընտրում ենք о նշանակումը, եթե անհավասարման նշանը խիստ է՝ «<» կամ  «<»

4. Կոորդինատային առանցքի վրա նշում ենք ճիշտ միջակայքը:

5. Գրում ենք պատասխանը:

Օրինակ` Լուծենք −2×2+4x−5≤0  քառակուսային անհավասարումը:

  Լուծում

Առաջադրանքներ։

1. Տրվածը քառակուսային անհավասարո՞ւմ է.
ա) 2 x² − 5x + 1 > 6, բ) − 4 x² − 2x + 7 > 4x − 3, գ) 3 x² − 7(x − 1) > − 3 x² − 5x + 1, դ) x³ − 5 < 2 x² − 12, ե) − x⁵ + 13x + 1 ≤ x²(2 − x³) + 4x, զ) 4 x² − 3x + 10 = 2 x² + 4x − 1:

2. Ընտրիր այն նկարը, որում ցուցադրված է  t²+pt+q≤0 անհավասարման լուծումների բազմությունը, եթե պարաբոլը հատում է աբսցիսների առանցքը  t₁ և t₂ կետերում:

3. Օգտվելով հետևյալ նկարից` լուծիր  k²−4k+3≤0  անհավասարումը (քառակուսային եռանդամի արմատները 1 և 3 թվերն են):

  1 3 k

• k<1,k>3
• 1<k<3
• k≤1,k≥3
• 1≤k≤3

4. Լուծիր անհավասարումը՝  x²+4>0

5․ Փոփոխականի նշված արժեքը անհավասարման լուծո՞ւմ է.
ա) 3x² − 2x + 5 ≤ 4x² − 1, x = − 2, բ) − 5x² + 4x − 1 > x² − 12x + 1, x = − 1,
գ) 2x² + 7x − 1 < − x²  + 13x + 5, x = 3, դ) 10x²  + 12x − 6 ≥ (3x)²  + 15x − 1, x = 4:

6. Անհավասարումը ձևափոխե՛ք՝ երկու կողմերն էլ բազմապատկելով − 1-ով․
ա) x² − 6x + 2 > 0, բ) − 2x² + 5x − 1 < 2x − 3,գ) 4x − 3 x² + 1 ≥ x² + 1, դ) 6x² + x − 1 ≤ − 2 − 5x:

7. Անհավասարումը ձևափոխե՛ք այնպես, որ x²-ու գործակիցը լինի դրական․ ա) − x² + 7x − <0, բ) − 5x²  + 7x − 9>0, գ) − 4x²+ 9x + 15≥0, դ) 2x − 7 − 11x²≤0:

8. Անհավասարումը ձևափոխե՛ք այնպես, որ x²-ու գործակիցը լինի դրական․
ա) − x² + 5x − 1 > 0, բ) 4x² − 2x + 1 ≤ 6x² + x + 1, գ) 2x² + 5x − 2 > 5(x + 1) − 1,  

9. Անհավասարումը ձևափոխե՛ք այնպես, որ x²-ու գործակիցը լինի 1.
ա) 3x² + 7x − 2 > 4x² + x − 7, բ) 8x² + 13x − 5 ≥ 6x² − 5x + 7,
գ) − 4x² + 3x + 7 < 2x² − 9x − 2, դ) 3x²− 4x + 12 ≤ − 7x² + 16x +2