Рубрика: Հանրահաշիվ 7

Ամփոփիչ դաս

1․ Ընտրել առաջին աստիճանի −x−6=8−7x հավասարման անհայտի գործակիցը:

ա) 1

բ) 5 

գ) 6 

դ) 7

2․ Նշել x+6=−2x+2 հավասարման ազատ անդամը:

ա) −2

բ) 4 

գ) 3

 դ) 1

3․Արդյո՞ք  −4-ը հանդիսանում է  x−4=0 հավասարման արմատ:

ա) այո 

բ) ոչ

4․ Արդյո՞ք  −2-ը հանդիսանում է  7x+14=0 հավասարման արմատ:

ա) այո 

բ) ոչ

5․ Լուծել հավասարումները։

ա) 1/3x=−10
x = -30
բ) 2x−12=0
2x = 0 + 12 = 12
2x = 12 / 2 = 6
x = 6
գ) 4x+4=0 6
4x = 0 — 4 = -4
x = -4 / 4
x = -1
դ) x+9=23
x = 23 — 9 = 14
x = 14
ե) 2(x+13)=0
2x = 2 * 13 = 26
2x = -26
x = -26 / 2 = -13

զ) −x−3=2(x+4)
-x — 3 = 2x + 8
8 + 3 =
— x — 2x = 8 + 3
-3x = 11
x = 11/3
է) −x+2x=−1
x = -1
ը) −2x+1=-9
-2x = -10
x = 5

6․Տրված են A={1,2,3,4,5} և B={2,4,6} բազմությունները: Կազմել բերված բազմությունների հատումը և միավորումը։
AuB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
АnB = {2, 4}

7․ Տրված են երկու բազմություններ՝ A={a, b, c},B={b, c, d}: Գտնել դրանց միավորումն ու հատումը:
AuB = {a, b, c, d}
AnB = {b, c}

8․ Տրված է երկու բազմություն՝ A և B: A-ն ունի 12 տարր, իսկ B-ն՝ 16: Պարզել A և B բազմությունների հատման տարրերի թիվը, եթե դրանց միավորումն ունի 20 տարր:
12 + 16 = 28
28 — 20 = 8

9․ Երեք իրար հաջորդող զույգ թվերի գումարը հավասար է 36:
x + (x + 2) + (x + 4) = 36
3x = 36 — 6 = 30
3x = 30
x = 10
10 + 2 = 12
10 + 4 = 14
x = 14

10․ Մոտորանավը գետի հոսանքի ուղղությամբ 6 ժամում անցավ այնքան ճանապարհ, որքան 8 ժամում անցավ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ: Գետի հոսանքի արագությունը 1 կմ/ժ է: Գտնել մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում:
6 (x + 1) = 8 (x — 1)
6x + 6 = 8x — 8
14 = 2x
x = 7

11․ Երկու նավահանգիստների միջև հեռավորությունը 176 կմ է: Նավահանգիստներից միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեցին երկու նավակ, որոնց արագությունները կանգնած ջրում հավասար են: 4 ժամ անց նավակները հանդիպեցին: Հոսանքի արագությունը 2 կմ/ժ է: Գտնել նավակների արագությունները կանգնած ջրում։

12․ Աշակերտը 1200 դրամով գնեց տետրեր և գրիչներ: Գրիչների վրա նա ծախսեց 3 անգամ ավելի շատ գումար, քան տետրերի: Որքա՞ն գումար ծախսեց աշակերտը տետրերի և գրիչների վրա:
3x + x = 1200
x = 1200 / 4
x = 300
3x = 300

13․ 1 կիլոգրամ խնձորի և 2 կիլոգրամ տանձի համար վճարեցին 1900 դրամ: Մեկ կիլոգրամ տանձը 200 դրամով թանկ է մեկ կիլոգրամ խնձորից: Որքա՞ն արժեն խնձորի և տանձի մեկ կիլոգրամները:
x + 2 (x + 200) = 1900
x + (2x + 400) = 1900
3x =1500
x = 1500/3
x = 500
500 + 200 = 700

Թեմա՝ Թվային բազմություններ։

Բնական կոչվում են այն թվերը, որոնք առաջանում են հաշվելիս կամ նման առարկաներ համարակալելիս:  Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով` 1,2,3,4,5,…

Բնական թվերից, 0-ից և բոլոր բացասական ամբողջ թվերից՝ −1,−2,−3,−4,…, կազմված բազմությունն անվանում են ամբողջ թվերի բազմություն և նշանակում են Z տառով:

Ամբողջ թվերից, սովորական կոտորակներից կազմված բազմությունն անվանում են ռացիոնալ թվերի բազմություն և նշանակում են Q տառով:

Ռացիոնալ թվերի Q բազմությունը բաղկացած է mn;−mn տեսքի թվերից (որտեղ m-ը և n-ը բնական թվեր են) և 0 թվից:
Հասկանալի է, որ՝ N -ը Z -ի ենթաբազմություն է, իսկ Z -ը՝ Q -ի: N⊂Z;Z⊂Q

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով (վերջավոր կամ անվերջ)՝

4=4,000…=4,(0)54=1,25=1,25000…=1,25(0)722=0,3181818…=0,3(18)7,3777=7,37770000…=7,3777(0)

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը՝ ցանկացած պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ է: 

Սակայն, կան անվերջ տասնորդական կոտորակներ, որոնք պարբերական չեն:

Օրինակ` 0,10110111… (յուրաքանչյուր 0−ից հետո 1−երի թիվը մեկով ավելանում է),

−17,12345 67891011121314… (ստորակետից հետո գրված են բոլոր բնական թվերը):

Թիվը, որը կարելի է գրել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով կոչվում է իռացիոնալ թիվ: Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին անվանում են իրական թվեր: Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով։

Վերջավոր բազմությունների դեպքում գոյություն ունի կապ երկու բազմությունների միավորման և հատման տարրերի թվերի միջև՝

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ինչպե՞ս են նշանակում.

ա) բնական թվերի բազմությունը-N

բ) ամբողջ թվերի բազմությունը-Z

գ) ռացիոնալ թվերի բազմությունը-Q

դ) իռացիոնալ թվերի բազմությունը-I

ե) իրական թվերի բազմությունը:-R

2․ Գրառել

ա) 10-ից մեծ և 50-ից փոքր պարզ թվերի բազմությունը:
11,13,17,19,21,23,29,31,37,41,43,47:

բ) 42-ից փոքր և 6-ի հետ փոխադարձ պարզ թվերի բազմությունը:
(6,7):(6,11):(6,13):(6,17):(6,19):(6,23):(6,25):(6,29):(6,31):(6,35):(6,37):(6,41):

գ) Այն երկնիշ թվերի բազմությունը, որոնք 12-ի բաժանելիս տալիս են 5 մնացորդ:
17,29,41,53,65,77,89:
3.Օգտագործելով N, Z, Q նշանակումները և ∈, ∉ նշանները՝ ներկայացրու հետևյալ պնդումը՝ 

−3-ը ռացիոնալ թիվ է:
-3∈QZ
-3∉N

4․ Պարզիր, թե արդյո՞ք ճիշտ է հետևյալ պնդումը՝ 2.6∉Q։/այո,ճիշտ է/
Ընտրել ճիշտ պնդումները:

ա) 21∈N-այո
բ) 0,3∈Z-ոչ
գ) 16∈N-այո
դ) −16∈Z-այո
ե) 6∈Z-այո
զ) −6∈N-ոչ
է) 0∈N-ոչ
ը) 0∈Z-այո
թ)−21∈Z-այո

1. Տրված է A={2.5;−4;0;25;6} բազմությունը: Որոշել դրա այն ենթաբազմությունները, որոնք բաղկացած են միայն բնական թվերից: Ընտրել ճիշտ պատասխանի տարբերակները:

ա) {0,6}

բ) {0,25,6} 

գ) {6} 

դ) {−4,0,6}

1. Տրված են պնդումներ և առնչություններ բազմությունների և նրանց տարրերի վերաբերյալ: Ընտրել ճիշտ պնդումները:

ա) {1}∩{2}=∅-ոչ
բ) {1}⊂{2}-այո
գ) 0,25∉Z-ոչ
դ) 4.25∈Q-այո
ե) Z∩Q=Z-ոչ
զ) 13∉Q-ոչ
է) 0.7∈N-ոչ
թ) Z∪{0}=Q-այո

7. Ընտրել ճիշտ պնդումները.

ա) 7.5∉Q-ոչ

բ) Z∪Q=R-այո

գ) 1,7∈Q-այո

դ) {1}∪{2}={1,2}-այո

ե) R∩Q=Q-ոչ

զ) Q⊄R-այո

է) 35∉R-ոչ

ը) Z⊂R-այո

թ){11}∉N-այո

8. Տրված են հետևյալ վեց թվերը՝ −16;6.77;−0.1277;6.(5);−9.073992…;113: Նշել այն թվերը, որոնք՝

ա) x∈ Q և x ∉Z

բ) x∈ Q և x ∉N

9. Տրված է {−5;0;2;16} բազմությունը: Ընտրել՝

ա) բազմություն, որը տրված բազմության ենթաբազմությունն է՝

ա) {0;1;16} բ) {−5;16} գ) {−1;16} դ){−5;10}

բ) բազմություն, որը տրված բազմության ենթաբազմությունը չէ՝

ա) {0;2} բ){−5;0;16} գ) {−5;16} դ) {−1;16}

10. A բազմությունն ունի 5 տարր, AUB բազմությունը՝ 12 տարր, իսկ AՈB բազմությունը՝ 2 տարր: Քանի՞ տարր ունի B բազմությունը:

11. Դասարանի 31 աշակերտից 21-ը ցանկություն է հայտնել սովորել անգլերեն, 18-ը՝ գերմաներեն:

ա) Քանի՞ աշակերտ է ցանկություն հայտնել սովորել և անգլերեն, և գերմաներեն:

21 անգլ 18 գերմ

բ) Քանի՞ աշակերտ է ցանկանում սովորել միայն գերմաներեն:

10

գ) Քանի՞ աշակերտ է ցանկանում սովորել միայն անգլերեն

13

Թեմա՝ Թվային բազմություններ։

Բնական կոչվում են այն թվերը, որոնք առաջանում են հաշվելիս կամ նման առարկաներ համարակալելիս:  Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով` 1,2,3,4,5,…

Բնական թվերից, 0-ից և բոլոր բացասական ամբողջ թվերից՝ −1,−2,−3,−4,…, կազմված բազմությունն անվանում են ամբողջ թվերի բազմություն և նշանակում են Z տառով:

Ամբողջ թվերից, սովորական կոտորակներից կազմված բազմությունն անվանում են ռացիոնալ թվերի բազմություն և նշանակում են Q տառով:

Ռացիոնալ թվերի Q բազմությունը բաղկացած է mn;−mn տեսքի թվերից (որտեղ m-ը և n-ը բնական թվեր են) և 0 թվից:
Հասկանալի է, որ՝ N -ը Z -ի ենթաբազմություն է, իսկ Z -ը՝ Q -ի: N⊂Z;Z⊂Q

Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով (վերջավոր կամ անվերջ)՝

4=4,000…=4,(0)54=1,25=1,25000…=1,25(0)722=0,3181818…=0,3(18)7,3777=7,37770000…=7,3777(0)

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը՝ ցանկացած պարբերական տասնորդական կոտորակ ռացիոնալ թիվ է: 

Սակայն, կան անվերջ տասնորդական կոտորակներ, որոնք պարբերական չեն:

Օրինակ` 0,10110111… (յուրաքանչյուր 0−ից հետո 1−երի թիվը մեկով ավելանում է),

−17,12345 67891011121314… (ստորակետից հետո գրված են բոլոր բնական թվերը):

Թիվը, որը կարելի է գրել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով կոչվում է իռացիոնալ թիվ: Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին անվանում են իրական թվեր: Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով։

Վերջավոր բազմությունների դեպքում գոյություն ունի կապ երկու բազմությունների միավորման և հատման տարրերի թվերի միջև՝

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ինչպե՞ս են նշանակում.

ա) բնական թվերի բազմությունը

բ) ամբողջ թվերի բազմությունը

գ) ռացիոնալ թվերի բազմությունը

դ) իռացիոնալ թվերի բազմությունը

ե) իրական թվերի բազմությունը:

2․ Գրառել

ա) 10-ից մեծ և 50-ից փոքր պարզ թվերի բազմությունը:

բ) 42-ից փոքր և 6-ի հետ փոխադարձ պարզ թվերի բազմությունը:

գ) այն երկնիշ թվերի բազմությունը, որոնք 12-ի բաժանելիս տալիս են 5 մնացորդ:

3․ Օգտագործելով N, Z, Q նշանակումները և ∈, ∉ նշանները՝ ներկայացրու հետևյալ պնդումը՝ 

−3-ը ռացիոնալ թիվ է:

4․ Պարզիր, թե արդյո՞ք ճիշտ է հետևյալ պնդումը՝ 2.6∉Q։ Ընտրել ճիշտ պնդումները:

ա) 21∈N բ) 0,3∈Z գ) 16∈N դ) −16∈Z ե) 6∈Z զ) −6∈N է) 0∈N ը) 0∈Z թ)−21∈Z

5. Տրված է A={2.5;−4;0;25;6} բազմությունը: Որոշել դրա այն ենթաբազմությունները, որոնք բաղկացած են միայն բնական թվերից: Ընտրել ճիշտ պատասխանի տարբերակները:

ա) {0,6} բ) {0,25,6} գ) {6} դ) {−4,0,6}

6. Տրված են պնդումներ և առնչություններ բազմությունների և նրանց տարրերի վերաբերյալ: Ընտրել ճիշտ պնդումները:

ա) {1}∩{2}=∅ բ) {1}⊂{2} գ) 0,25∉Z դ) 4.25∈Q ե) Z∩Q=Z զ) 13∉Q է) 0.7∈N թ) Z∪{0}=Q

7. Ընտրել ճիշտ պնդումները.

ա) 7.5∉Q բ) Z∪Q=R գ) 1,7∈Q դ) {1}∪{2}={1,2} ե) R∩Q=Q զ) Q⊄R է) 35∉R ը) Z⊂R թ){11}∉N

8. Տրված են հետևյալ վեց թվերը՝ −16;6.77;−0.1277;6.(5);−9.073992…;113: Նշել այն թվերը, որոնք՝

ա) x∈ Q և x ∉Z բ) x∈ Q և x ∉N

9. Տրված է {−5;0;2;16} բազմությունը: Ընտրել՝

ա) բազմություն, որը տրված բազմության ենթաբազմությունն է՝

ա) {0;1;16} բ) {−5;16} գ) {−1;16} դ){−5;10}

բ) բազմություն, որը տրված բազմության ենթաբազմությունը չէ՝

ա) {0;2} բ){−5;0;16} գ) {−5;16} դ) {−1;16}

10. A բազմությունն ունի 5 տարր, AUB բազմությունը՝ 12 տարր, իսկ AՈB բազմությունը՝ 2 տարր: Քանի՞ տարր ունի B բազմությունը:

11. Դասարանի 31 աշակերտից 21-ը ցանկություն է հայտնել սովորել անգլերեն, 18-ը՝ գերմաներեն:

ա) Քանի՞ աշակերտ է ցանկություն հայտնել սովորել և անգլերեն, և գերմաներեն:

բ) Քանի՞ աշակերտ է ցանկանում սովորել միայն գերմաներեն:

գ) Քանի՞ աշակերտ է ցանկանում սովորել միայն անգլերեն:

Թեմա՝ Խնդիրների լուծում գծային հավասարումների օգնությամբ։

Առաջադրանքներ։

1․Գործարանի երեք արտադրամասում աշխատում է 1130 մարդ: Երկրորդ արտադրամասում 70 մարդ ավելի է աշխատում, քան առաջինում, իսկ երրորդում՝ 84 մարդ ավելի, քան երկրորդում: Քանի՞ մարդ է աշխատում յուրաքանչյուր արտադրամասում:

1 արտադրամաս – x
2 արտադրամաս – x + 70
3 արտադրամաս – x + 70 + 84

x + x + 70 + x + 70 + 84 = 1130
3x + 224 = 1130
3x = 1130 – 224 = 906
x = 906 / 3 = 302
Պատ․՝
1 արտադրամաս – 302
2 արտադրամաս – 302 + 70 = 372
3 արտադրամաս – 372 + 84 = 456

2․ Մի թիվը 13-ով մեծ է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը 8-ով,ապա նրանց գումարը կլինի 129։ Գտնել այդ թվերը։
1. x
2. x + 13
2x + x + 13 + 8 = 129
3x + 21 = 129
3x = 129 – 21 = 108
x = 108 / 3 = 36
Պատ․՝
1. 36
2. 36 + 13 = 49

3․ Հայրը որդուց մեծ է 7 անգամ: 5 տարի հետո նա որդուց մեծ կլինի 4 անգամ: Քանի՞ տարեկան է հայրը:
Որդի – x
Հայր – 7x
7x + 5 = 4(x + 5)
7x + 5 = 4x + 20
7x – 4x = 20 – 5
3x = 15
x = 15 / 3 = 5
Պատ․՝ 35 տարեկան

4․ Երեք արկողում միասին կա 84 գնդակ: Եթե առաջին արկղից հանենք 5 գնդակ, երկրորդից՝ 9 գնդակ, իսկ երրորդից՝ 4 գնդակ, ապա բոլոր արկղերում կմնան հավասար քանակությամբ գնդակներ: Սկզբում քանի՞ գնդակ կար յուրաքանչյուր արկղում:
1. x + 5
2. x + 9
3. x + 4
3x + 18 = 84
3x = 84 – 18 = 66
x = 66 / 3 = 22
Պատ․՝
1. 22 + 5 = 27
2 . 22 + 9 = 31
3. 22 + 4 = 26

5․10000 դրամը պետք է մանրել 200 դրամ և 500 դրամ մետաղադրամներով այնպես, որ նրանց քանակը լինի 26։ Դրանցից քանի՞սը կլինի 200 դրամանոց։
200. x
500. 26 – x
200x + 500(26-x) = 10000
200x + 13000 – 500x = 10000
-300x = 10000 – 13000 = -3000
x = -3000 / -300 = 10
Պատ․՝ 10 հատ

6․ Մի քաղաքից մյուսը հեծանվորդը գնում է 5 ժամում, իսկ մեքենան 2 ժամում։ Որքա՞ն է հեծանվորդի արագությունը, եթե մեքենայի արագությունը 42 կմ/ժ-ով մեծ է հեծանվորդի արագությունից։
Հեծանվորդ․ x
Մեքենա. x + 42
5x = 2(x + 42)
5x = 2x + 84
3x = 84
x = 84 / 3 = 28
Պատ․՝ 28 կմ/ժ

7․ Եռանկյան պարագիծը 77 սմ է։ Որոշել եռանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա առաջին կողմը 2 անգամ փոքր է երկրորդից, իսկ երրորդը ՝ 5 սմ-ով մեծ է առաջինից։
1. x
2. 2x
3. x + 5
x + 2x + x + 5 = 77
4x = 72
x = 72 / 4 = 18
Պատ․՝
1. 18
2. 18 * 2 = 36
3. 18 + 5 = 23

8․ Մի ավազանում կա 480 լ ջուր, իսկ մյուսում՝ 1460 լ: Յուրաքանչյուր ժամում առաջին ավազան է լցվում 80 լ ջուր, իսկ երկրորդից յուրաքանչյուր ժամում դատարկվում է 60լ ջուր: Որքա՞ն ժամանակ հետո ավազանների ջուրը կհավասարվի:
ժամանակ – x
480 + 80x = 1460 – 60x
140x = 980
x = 980 / 140 = 7
Պատ․՝ 7 ժամ

9․ Երեք դասարաններում կա 116 աշակերտ: Առաջին դասարանում 4 աշակերտ ավելի կա, քան երկրորդում և 3 աշակերտ պակաս՝ քան երրորդում: Քանի՞ աշակերտ կա երրորդ դասարանում:
1. x
2. x – 4
3. x + 3
x + x – 4 + x + 3 = 116
3x – 1 = 116
3x = 117
x = 117 / 3 = 39
Պատ․՝ 39 + 3 = 42

10․ Մոտորանավը գետի հոսանքի ուղղությամբ 6 ժամում անցավ այնքան ճանապարհ, որքան 8 ժամում անցավ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ: Գետի հոսանքի արագությունը 1 կմ/ժ է: Գտի՛ր մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում:
մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում – x
6(x + 1) = 8(x – 1)
6x + 6 = 8x – 8
14 = 2x
x = 14/2 = 7
Պատ․՝ 7 կմ/ժ

1․ Մտապահված թիվը նշանակել x-ով, կազմել հավասարում, գտնել անհայտը:

ա) Մտապահել են մի թիվ, ավելացրել են 9 և ստացել 48:

x+9=48
x=39

բ) Մտապահել են մի թիվ, բազմապատկել են այն 3-ով և ստացել 45:

3x=45
x=45/3=15

գ) Մտապահել են մի թիվ, բազմապատկել են այն 8-ով, արդյունքին ավելացրել են 14 և ստացել  են 29:

8x+14=29
8x=29-14=15
x=15/8

դ) Մտապահել են մի թիվ, բազմապատկել են 6-ով, հանել են արդյունքից   5  ստացել  են 37:

6x-5=37
6x=37+5=42
x=42/6=7

ե) Եթե մտապահված թվին գումարենք 6, ստացվածը  բազմապատկենք  2-ով  և արտադրյալից  հանենք 30,  ապա  կստանանք  մտապահված  թիվը: Ի՞նչ  թիվ է մտապահված

2(x+6)-30=x
2x+12-30=x
2x-x=30-12
x=18

2․ Անհայտ մեծություններից մեկը նշանակեք x-ով,կազմեք հավասարում և լուծեք այն․

ա) Մի թիվը 6 անգամ մեծ է մյուսից, իսկ նրանց գումարը 49 է։ Գտնել այդ թվերը։

x+6x=49
7x=49
x=49/7=7

բ) Մի թիվը 3 անգամ փոքր է մյուսից, իսկ նրանց գումարը 32 է։ Գտնել այդ թվերը։

x+3x=32
4x=32
x=32/4=8

գ) Մի թիվ 5 անգամ մեծ է մյուսից,իսկ նրանց տարբերությունը 48 է։Գտնել այդ թվերը։

5x-x=48
4x=48
x=48/4=12

3․ Երկու հոգի 25000 դրամը պետք է բաժանեին այնպես,որ մեկին մյուսից 4 անգամ շատ հասներ։ Քանի՞ դրամ կհասնի յուրաքանչյուրին։

x+4x=25000
5x=25000
x=5000
5000*4=20000

5000, 20000

4․ Դպրոց բերեցին ընդհանուր քանակով 690 աթոռ և սեղան։ Աթոռները 230-ով սեղաններից շատ էին։ Քանի՞ սեղան և քանի՞ աթոռ բերեցին դպրոց։

x+x+230=690
x+x=690-230
2x=460
x=460/2=230
Սեղան-230
Աթոռ-230+230=460

5․ Մայրը 6 անգամ մեծ է որդուց, իսկ որդին 25 տարով փոքր մորից։ Քանի՞ տարեկան է մայրը և քանի՞ տարեկան է որդին։

6x=x+25
6x-x=25
5x=25
x=25/5=5
Որդի-5
Մայր-5*6=30

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային հավասարումներ։

Առաջադրանքներ։

1․Լուծել հավասարումները․

1) x-6=8
x=8+6=14

2) x+46=4
x=4-46=-42

3) x-96=5
x=96+5=101

4) 2x-10=4
10+4=14
14/2=7
x=7

5) 3x+36=6
6-36=-30
-30/3=-10
x=-10

6) x+14=-9
-9-14=-23
x=-23

7) 3x+83=-4
3x=-4-83=-87
x=-87/3=-29
x=-29

8) 2x-6=8
2x=8+6=14
x=14/2=7
x=7

9) 2x-8=2
2x=2+8=10
x=10/2=5

10) 4x-16=32
4x=48
x=12

11) 7x+49=-21
7x=-70
x=-10

12) 9x-81=18
9x=99
x=11

13) 18x+36=36
18x=0
x=0

14) 29x-158=16
29x=174
x=6

15) 3x+9=-3
3x=-12
x=-4

16) 5x+15=25
5x=10
x=2

17) 2x+96=0
2x=-96
x=-48

18) 6x+126=0
6x=-126
x=-21

19) 7x+56=0
7x=-56
x=-8

20) 8x+96=16
8x=-80
x=-10

21) 32x+288=32
32x=-256
x=-8

22) -x-6=0
x=-6

23) -x+56=0
x=56

24) -21x-42=0
-21x=42
x=-2

25) -11x+11=0
11x=11
x=1

2․Լուծել հավասարումները։

x=17+11=28
x=2-6=-4
x=-6-12=-18
x=5-13=-8
x=-14/7=-2
x=51/-17=-3
x=7/6
x=-13/2=6,5
x=-2

3․Գտնել հավասարման արմատը․

5x=3
x=3/5

5x=10
x=2

x=2

x=5

4․Գտնել անհայտը․

4x=-12
x=-3

2x=0
x=0

2x=6
x=3

2,4x=0.2
4x=-12
x=-3

2x=0
x=0

2x=6
x=3

2,4x=0,2
x=1/12

4x=-4
x=-1

20x=-1264
x=63,4

5․Լուծել հավասարումները․

—
—
x=0
0=0
5x=11, x=11/5
2x=2, x=1
2x=11, x=11/2
7x=12, x=12/7
—
—

6․Լուծել հավասարումները․

ա) 3x — 7 = x

2x=7
x=7/2 = 3. 1/2

բ) 2x + 3 = 5x — 9

3x=12
x=4

գ) x + 8— 7x = 4 + 3x — 14

9x=18
x=2

դ) 3x+125=7x+9   

4x=116
x=29

ե)-x+26+4x=6+5x-37    

2x=57
x=28,5

զ) -56x+268+2x=68+2x

56x=200

x=25/7

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային հավասարում։

Մեկ անհայտով գծային հավասարում անվանում են այն հավասարումները, որոնց աջ և ձախ մասերը x փոփոխականի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ են կամ թվեր։

Օրինակ՝ 4x+6=2, 6x-5=4x+7, 2x-7+3x=6

Գծային հավասարման լուծումը կախված է գործակցից և ազատ անդամից։ 

1. Եթե k-ն հավասար չէ 0-ի, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Օրինակ՝ եթե 2x−4=0, ապա x=2

2. Եթե k=0, իսկ b-ն հավասար չէ 0-ի, ապա հավասարումը արմատ չունի:

Օրինակ՝ 0x=3: Չկա x-ի այնպիսի արժեք, որը 0-ով բազմապատկելիս ստացվի 3

3. Եթե k=0 և b=0, ապա ցանկացած թիվ հանդիսանում է հավասարման արմատ:

Օրինակ՝ 0x=0: Զրոն ցանկացած թվով բազմապատկելիս ստացվում է 0։

Երկու հավասարում կոչվում է համարժեք, եթե առաջինի ցանկացած արմատ արմատ է նաև երկրորդի համար, և երկրորդի ցանկացած արմատ արմատ է նաև առաջինի համար:

1. Եթե հավասարման ձախ և աջ մասերը բազմապատկենք (կամ բաժանենք) զրոյից տարբեր միևնույն թվով, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

2. Եթե հավասարման որևէ անդամ հավասարման մի մասից տեղափոխենք մյուս մաս, փոխելով նրա նշանը, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

3. Եթե հավասարման ձախ կամ աջ մասում կատարենք նման անդամների միացում, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր հավասարումներն են անվանում մեկ անհայտով գծային հավասարում։

Մեկ անհայտով գծային հավասարում անվանում են այն հավասարումները, որոնց աջ և ձախ մասերը x փոփոխականի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ են կամ թվեր։

2․Ո՞ր հավասարումներն են անվանում համարժեք։

Երկու հավասարում կոչվում է համարժեք, եթե առաջինի ցանկացած արմատ արմատ է նաև երկրորդի համար, և երկրորդի ցանկացած արմատ արմատ է նաև առաջինի համար:

3․ k-ի և b-ի դեպքում kx+b=0 հավասարումը`
ա) ունի մեկ լուծում բ) լուծում չունի, գ) անթիվ բազմությամբ լուծումներ ունի:

4.Ընտրել առաջին աստիճանի −x−4=3−6x հավասարման անհայտի գործակիցը:

Ընտրել ճիշտ պատասխանը ա) 1 բ) 5 գ) 6 դ) 7

5.Նշել x+4=−2x հավասարման ազատ անդամը:

ա) −2 բ) 4 գ) 3 դ) 1

6․ Հետևյալ 1/3x = -2 հավասարման արմատը հավասար է.

x = -6

7․ Գտնել 3 − 2x = 3 (x − 1) հավասարման ազատ անդամը:

ա) 6 բ) 3 գ) 6/5 դ) 1 ե) −5

8․ Լուծել տրված հավասարումը՝ 2 (x + 11) = 0

x=-11

9․ Գտնել հետևյալ 3x = x հավասարման ազատ անդամը:

10․ x փոփոխականի ո՞ր արժեքի դեպքում է 6x − 18 տարբերության արժեքը հավասար 0-ի:

x=3

11.Քանի՞ արմատ ունի 3(x−1)+3x−1=4(2x+3) հավասարումը:

Հավասարումն ունի մեկ արմատ։

12.Արդյո՞ք 7-ը հանդիսանում է 9x+4=2x հավասարման անհայտի գործակից:

ա) այո բ) ոչ

13.Լուծել հավասարումը՝ −8−0.5x=8

x=-32

14.Գտնել 4(2−3x)+2=8x−4 հավասարման արմատը:

8−12x+2=8x−4
8+2+4=8x+12x
14=20x
x = 14/20 = 0.7

15.Գտնել 2x+6+3(4x+2)=8(x+3) հավասարման արմատը:

2x+12x-8x=24-6-6
6x = 12
x=12/6=2

116.Արդյո՞ք x²+3x−1=0 հավասարումը մեկ անհայտով գծային հավասարում է:

Ոչ

17.Թվարկվածներից ընտրիր այն հավասարումները, որոնք մեկ փոփոխականով գծային հավասարումներ են:

• x=6(x−2)+4
• 5x+72x−8=2
• 9x²=1
• x+3y=0
• 3x=0
• 5x−14+2x=x³

18. Համարժեք են արդյոք հավասարումները․

ա) 5x+15=0  և  9x+27=0, այո
բ) 15x-60=0 և x-4=0, այո
գ) 12x-144=0 և 9x+121=0, ոչ
դ) 62x+124=0 և  -7x=0, ոչ
ե) 25x-200=0  և  -x+8=0, այո
զ) x-1=0  և 5x+5=0, ոչ

19.Կազմել հավասարում և լուծելայն․

ա) x թվին գումարել են 6 և ստացել են 15։
x+6=15
x=15-6=9

բ) x թվից հանել են 13 և ստացել են 9։
x-13=9
x=9+13=22

գ) 37-ից հանել են x թիվը և ստացել են 15։
37-x=15
x=37-15=22

դ) 14-ին գումարել են x թիվը և ստացել են 28։
14+x=28
x=28-14=14

Թեմա՝ Բազմանդամի վերլուծումը արտադրիչների

Բազմանդամի վերլուծումը արտադրիչների, նշանակում է՝ այն ներկայացնել երկու կամ մի քանի բազմանդամների արտադրյալի տեսքով: Այժմ կներկայացնենք բազմանդամն արտադրիչների վերլուծելու  մի քանի եղանակ.

1. Ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերման եղանակ

Օրինակ՝ 2ab-3ac+a բազմանդամը վերլուծել արտադրիչների։

Նկատում ենք, որ այս բազմանդամի բոլոր անդամներն ունեն a ընդհանուր արտադրիչը:Այն փակագծերից դուրս բերելով՝ ստանում ենք բազմանդամի վերլուծումը արտադրիչների՝ 2ab-3ac+a=a(2b-3c+1):

2. Կրճատ բազմապատկման բանաձերի կիրառմամբ եղանակ

Օրինակ՝ Վերլուծենք արտադրիչների 49x²-36y² բազմանդամը:

ա) Ներկայացնենք բազմանդամի գումարելիները քառակուսիների տեսքով՝ 49x²=(7x)² և 36y²=(6y)²

բ) Կիրառենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը` 49x²-36y²=(7x)² -(6y)² =(7x-6y)(7x+6y):

Օրինակում  կիրառելով a²-b²=(a-b)(a+b) կրճատ բազմապատկման բանաձևը բազմանդամը վերլուծեցինք արտադրիչների:

3. Բազմանդամի անդամների խմբավորման եղանակ

Այս եղանակը ավելի հաճախ կիրառվում է ընդհանուր արտադրիչի փակագծերից դուրս բերելու եղանակի հետ զուգընթաց:

Օրինակ՝ Վերլուծենք արտադրիչների  2ax+2ay+3bx+3by բազմանդամը:

ա) Խմբավորենք բազմանդամի առաջին և երկրորդ գումարելիները, ինչպես նաև երրորդ և չորրորդ գումարելիները`2ax+2ay+3bx+3by=(2ax+2ay)+(3bx+3by)

բ) Առաջին փակագծից դուրս բերենք 2a ընդհանուր արտադրիչը, իսկ երկրորդից 3b-ն, կստանանք՝ 2ax+2ay+3bx+3by=(2ax+2ay)+(3bx+3by)=2a(x+y)+3b(x+y)

գ) Փակագծերից դուրս բերենք  (x+y) ընդհանուր արտադրիչը`  2ax+2ay+3bx+3by=(2ax+2ay)+(3bx+3by)=2a(x+y)+3b(x+y)=(x+y)(2a+3b)

Խմբավորեցինք առաջինն ու երկրորդը, երրորդն ու չորրորդը, այնուհետև խմբավորվածներից դուրս բերեցինք ընդհանուր արտադրիչ, և քանի որ վերջում էլ ստացվեց ընդհանուր արտադրիչ, այն դուրս բերեցինք:

Եղանակը կարող է կիրառվել նաև կրճատ բազմապատկման բանաձևերի հետ համակցված:

Օրինակ՝ a³+a²-b³-b²=(a³-b³)+(a²-b²)=(a-b)(a²+ab+b²)++(a-b)(a+b)= (a-b)(a²+ab+b²+a+b):

Խմբավորման եղանակն ավելի դժվար եղանակ է և պահանջում է որոշակի վարժվածություն և հնարամտություն:

Առաջադրանքներ

1․ Երկանդամը վերլուծել արտադրիչների.

ա) x²+4x = x(x + 4)

բ) 6x²+2 = 2(3x² + 1)

գ) 40-8x² = 8(5 — x²)

դ) 14+8x³ = 2(7 + 4x³)

ե) 21x²-7x⁴ = 7x²(3 — x²)

զ) -3+12x = 3(4x — 1)

2․ Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերել փակագծերից.

ա) am-ank = a(m — nk)

բ) p²q³-p³q = p²q(q² — p)

գ) x³y⁴z³-xy³z²+x⁴y³z⁶ = xy³z²(x²yz — 1 + x³z⁴)

դ) 8p⁴q³— 4q³p- 6pq² = 2pq²(4p³q — 2q — 3)

ե) 3x²+8x⁴-12x = x(3x + 8x³ — 12)

զ) a²-4a+8a³ = a(a — 4 + 8a²)

3․ Բազմանդամը վերլուծել արտադրիչների.

ա) 16a²bc³-12ac³+28b²c²-8abc⁵ = 4c²(4a²bc — 3ac + 7b² — 2abc³)

բ) 12x²yz+18xy³z²-27x⁵z⁶-24xy⁴z⁴ = 3xz(4xy + 6y³z — 9x⁴z⁵ — 8y⁴z³)

4․ C և D տառերի փոխարեն ընտրել այնպիսի միանդամներ, որ տեղի ունենա հավասարությունը.

ա) 3a²b-9a³b⁵=C(1-3ab⁴), C = 3a²b

բ) 14m³x²+21m⁵x⁴=C(2+3m²x²), C = 7m³x²

գ) 6x²y³-D=3x²y(C-5x⁴y³), C = 2y², D = 15x⁶y⁴

դ) 4m³n²+C=D(2m²+3n⁴), D = 2mn², C = 6mn⁶

5․ Արտահայտությունը ներկայացնել արտադրյալի տեսքով.

ա) (a+b)a+(a+b)c=(a+b)(a+c)

բ) (a+b)x-(a+b)y=(a+b)(x — y)

գ) 2x(a+b)+(a+b)=(a+b)(2x + 1)

դ) (a+b)3x-2y(a+b)=(a+b)(3x — 2y):

6․ Վերլուծել արտադրիչների.

ա) 7m²-7 = 7(m² — 1)

բ)  x³-x = x(x² — 1)

գ) p¹⁰-p²q = p²(p⁸ — q)

դ) a³b-ab³ = ab(a²— b²)

7․ Վերլուծել արտադրիչների.

ա) a²b³-a²b-b³+b =a²b(b² — 1) — b(b² — 1) = (b² — 1) (a²b — b)

բ) 2a³-8ax²+a²x-4x³ = 2a(a² — 4x²) + x(a² — 4x²) = (a² — 4x²) (2a + x)

գ) 2y-y²-6x+9x² = y(2 — y) — 3x(2 — 3x)

դ) 4a²+15x-9x²+10a = 2a(2a + 5) + 3x(5 — 3x)

8․ Արտահայտությունը նախապես վերլուծելով արտադրիչների՝ հաշվել նրա արժեքը․

ա) 4²-3² = (4 + 3) (4 — 3) = 7

բ) 24²-23² = (24 + 23) (24 — 23) = 47

գ) 17²-3² = (17 + 3) (17 — 3) = 280

դ) 19²+2•19+1 = (19 + 1)² = 400

ե) 37²-2•37•7+49 = (37 — 7)² = 900

Թեմա՝ Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառությունը։

Կրճատ բազմապատկման բանաձևերն են՝

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a−b)²=a²−2ab+b²

 a²−b² = (a−b)(a+b)

a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²) 

a³—b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

(a+b)³ =a³+3a²b+3ab²+b³

(a—b)³ = a ³ — 3a²b + 3ab ² — b ³

Առաջադրանքներ։

1․Արտահայտությունը գրեք բազմանդամի տեսքով․

ա)(a+8)² =a^2+16a+64

բ)(2x-3y)² =4x^2-12xy+9y

գ)(m-5)(m+5)=m^2-5^2=m^-25

դ)(3a+8b)(8b-3a)=64b^2-9a^3

ե)(x+3)³ =x^3+9x^2+27x+27

զ)(c-2)³ =c^2-6c^2+12c-8

2․Արտահայտությունը ձևափոխե՛ք կատարյալ տեսքի բազմանդամի.

ա)a^2-2ab^2+b^4

բ)x^6-2x^3y+y^2

գ)m^6-2*m^3n^2+n^4

դ)p^8+2p^4q^2+q^4

ե)a^6+2a^4b+a^2b^2

զ)x^6-2x^3y^2z+y^4z^2

3․Արտահայտությունը ձևափոխե՛ք կատարյալ տեսքի բազմանդամի.

ա)3(x-y)² =3(x^2-2xy+y^2)=3x^2-6xy+3y^2

բ)a² + (3a-b)² =a^2+9a^2-6ab+b^2=10a^2-6ab+b^2

գ)(a-4)² + a(a+8) =a^2-8a+16+a^2+8a=2a^2+16

դ)(a-c)(a+c)-(a-2c)²=a^2-c^2-(a^2-4ac+4c^2)=a^2-c^2-a^2+4ac-4c^2=4ac-5a^2

4․Արտահայտությունը ձևափոխե՛ք կատարյալ տեսքի բազմանդամի.

ա․ (1-x^2)(1+x^2)=1-x^4

բ․ (n^2-m^2)(m^2+n^2)=n^4-m^4

5․Հաշվի՛ր օգտվելով քառակուսիների տարբերության բանաձևից՝

ա)x² — 16y² =(x-4y)(x+4y)

բ)25m² — n² =(5m-n)(5m+n)

գ)36x² — 81y² =(6x-9y)(6x+9y)

դ)0.49m² — 64n² =(0.7m-8n)(0.7m+8n)

6․Արտահայտությունը ձևափոխել բազմանդամի.

ա․ 15-5a-3a+a^2-a^2+8a-16=-1

բ․x^2+6x+9+3(x^2-4x+4)=x^2+6x+9+3x^2-12x+12=4x^2-6x+21

7․ Արտահայտությունը ձևափոխել բազմանդամի.

ա․m^2+2mn+n^2+m^2-2mn+n^2=2m^2+2n^2

բ․2(a^2-2a+1)+3(a^2-2a+4)=2a^2-4a+2+3a^2-6a+12=5a^2-6a+14