Խորեն Սարգսյանի բլոգ

Թեմա՝ Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև

Եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց ընկած է ավելի մեծ անկյունը:

Ապացույց:

Դիցուք ABC եռանկյան մեջ AB կողմն ավելի մեծ է AC կողմից:

Ապացուցենք, որ ∡C>∡B:

Տեղադրենք AB կողմի վրա AC-ին հավասար հատված:

Քանի որ AD<AB, ապա D կետն ընկած է A և B կետերի միջև:

Հետևաբար, 1 անկյունը հանդիսանում է C անկյան մաս, և ուրեմն՝ ∡C>∡1

2 անկյունը BDC եռանկյան արտաքին անկյունն է, ուստի ∡2>∡B

∡1=∡2՝ որպես ADC հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններ:

Այսպիսով, ∡C>∡1=∡2>∡B

Այստեղից հետևում է, որ ∡C>∡B

Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը.

Եռանկյան ավելի մեծ անկյան դիմաց ընկած է ավելի մեծ կողմ:

Հետևանքներ.

Հետևանք 1.

Եթե եռանկյան երկու անկյուններ հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (հավասարասրուն եռանկյան հայտանիշ):

Հետևանք 2.

Եթե եռանկյան երեք անկյուններ հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարակողմ է:

Հետևանք 3.

Ուղղանկյան եռանկյան ներքնաձիգն ավելի մեծ է էջից:

Առաջադրանքներ։

1․GEOGEBRA ծրագրով  գծել ABC բութանկյուն եռանկյուն, նշել եռանկյան ամենամեծ կողմը։

2․GEOGEBRA ծրագրով  գծել ABC  ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ուղիղ անկյունը C-ն է, նշել եռանկյան ամենամեծ կողմը։

3․Տրված է CAB եռանկյունը: Նշել  A անկյան հանդիպակաց կողմը:

ա) AB բ) CA գ) CB

4․ABC եռանկյան մեջ նշել CAB անկյան հանդիպակաց կողմը:

ա) BC բ) CD գ) AB դ) DB ե) DA զ) CA

5․ Ընտրել  նկարում ցուցադրված եռանկյան տեսակը: Հնարավոր է մի քանի ճիշտ պատասխան:

• բութանկյուն
• սուրանկյուն
• հավասարասրուն
• ուղղանկյուն
• ոչ հավասարասրուն
• հավասարակողմ

6․ Հաշվել ACB եռանկյան պարագիծը, եթե AB=AC=BC=12 դմ:

7․ Հաշվել  ACB եռանկյան պարագիծը, եթե CA=BC=17սմ  և BA=22 սմ․

8․ Գտնել  ACB եռանկյան պարագիծը, եթե CA=55 սմ, BC=33սմ և AB=44սմ

9․Հաշվել հավասարակողմ եռանկյան կողմը, եթե նրա պարագիծը հավասար է 222 սմ-ի:

10․Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը հավասար է 60մ-ի, իսկ նրա սրունքը հավասար է 21մ-ի: Հաշվել եռանկյան հիմքը:

11․ Եռանկյան պարագիծը հավասար է 50 սմ-ի: Եռանկյան մի կողմը 20 սմ է: Հաշվել եռանկյան մյուս երկու կողմերը, եթե հայտնի է, որ դրանք իրար հավասար են:

12․ Տրված է ΔABC, AC=BC: Եռանկյան հիմքը 12 դմ-ով փոքր է սրունքից: ABC եռանկյան պարագիծը հավասար է 132 դմ-ի: Հաշվել եռանկյան կողմերը:

13․ Տրված են AKM եռանկյան անկյունների մեծությունները՝ ∠A=62°,∠K=87°,∠M=31°:

Թվարկիր եռանկյան կողմերը՝ ամենափոքրից մինչև ամենամեծը:

• Որո՞նք են անասնապահության զարգացման նախադրյալները:
• 
  Անասնապահության նախադրյալներից է հենց գյուղատնտեսությունը: Գյուղատնտեսության զարգացած լինելու դեպքում անասնապահությունը նույնպես կզարգանա, քանի-որ անասնապահությունը առաջ է գնում գյուղատնտեսական լավ պայմաններում:

• Ի՞նչ կապ ունի անասնապահությունը տնտեսության մյուս ճյուղերի հետ:
• 
  Անասնապահությունը գյուղատնտեսության կարևորագույն ճյուղերից է: Անասնապահության ամենամեծ կապը գյուղատնտեսության հետ է: Հենց գյուղատնտեսության պայմաններից է կախված անասնապահության զարգացումը: Անասնապահության կապը գյուղատնտեսության հետ ցույց է տալիս օրինակ՝ կլիման, բուսաբուծությունը, արդյունաբերությունը…

• Նշել այն երկները, որտեղ առաջատար են անասնապահության հետևյալ ճյուղերը՝ ոչխարաբուծություն, խոզաբուծություն, խոշոր եղջերավոր անանսապահություն, ձիաբուծություն, ձնկորսություն:
• 
  Հնդկաստան, Բրազիլիա, Չինաստան, ԱՄՆ, Ռուսաստան, Լեհաստան, Գերմանիա,
  Ուկրաինա, Ֆրանսիա, Ավստրալիա

• Որո՞նք են բուսաբուծության զարգացման նախադրյալները:

Բուսաբուծությունը ը նման է կլիմայի կարևորագւյն պայմանը դա համապատասխան կլիման է։

• Ի՞նչ կապ ունի բուսաբուծությունը տնտեսության մյուս ճյուղերի հետ:

Այն կապված է սննդիարդյունաբերության հետ քանի որ մեզ տալիս է բրինձ և այլն։

• Նշեք հետևյալ բույսեր մշակող առաջատար երկրները.
  Բրինձ, ցորեն, բամբակ, թեյ, սուրճ կակաո, խաղող, եգիպտացորեն

Բրինձ-չինաստան,Հնդկաստան և այլն

Ցորեն-Չինաստան,ԱՄՆ և այլն

Բամբակ-Չինաստան ,ԱՄՆ և այլն

թեյ-Շրի Լանկա,Հնդկաստան և այլն

սուրճ-Բրազիլիա

կակաո-Գանան

խաղող-Իտալիա

Եգիպտացորեն-Բրազիլիա,ԱՄՆ ևայլն

1. Տրված է ABC եռանկյունը: ∠A=34°, ∠B=78°: Որոշել ∠C անկյան մեծությունը:

∠C=180-34-78=68°

2. Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 27° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը:  

90-27=63°

3. ABT հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված
է AT հիմքի T անկյան TM կիսորդը և ∠TMB=68°-ի: Որոշել եռանկյան անկյունների մեծությունները: 

4․ Որոշել NLM եռանկյան անկյունների մեծությունները և եռանկյան տեսակը, եթե ∠N:∠L:∠M=6:2:4

6+2+4=12
180/12=15
∠N=15*6=90^o
∠L=15*2=30^o
∠M=15*4=60^o

5․ AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը։ Գտեք ∠ADC-ն, եթե ∠C=50⁰։

^o
o
∠ADC=180-50-25=105^o

6․Գտնել եռանկյան անհայտ անկյունը․

ա)

180-30-70=80^o

բ)

180-60-50=70^o

գ)

180-28-42=110^o

7․ Գտնել եռանկյան արտաքին անկյունը։

ա)

180-65-45=70^o
180-70=110^o

բ)

180-110=70
180-50-70=60
180-60=120^o

գ)

180-80-80=20^o
180-20=160^o

8․ Գտնել անհայտ անկյունները․

y=27^o
x=67^o

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային հավասարում։

Մեկ անհայտով գծային հավասարում անվանում են այն հավասարումները, որոնց աջ և ձախ մասերը x փոփոխականի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ են կամ թվեր։

Օրինակ՝ 4x+6=2, 6x-5=4x+7, 2x-7+3x=6

Գծային հավասարման լուծումը կախված է գործակցից և ազատ անդամից։ 

1. Եթե k-ն հավասար չէ 0-ի, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Օրինակ՝ եթե 2x−4=0, ապա x=2

2. Եթե k=0, իսկ b-ն հավասար չէ 0-ի, ապա հավասարումը արմատ չունի:

Օրինակ՝ 0x=3: Չկա x-ի այնպիսի արժեք, որը 0-ով բազմապատկելիս ստացվի 3

3. Եթե k=0 և b=0, ապա ցանկացած թիվ հանդիսանում է հավասարման արմատ:

Օրինակ՝ 0x=0: Զրոն ցանկացած թվով բազմապատկելիս ստացվում է 0։

Երկու հավասարում կոչվում է համարժեք, եթե առաջինի ցանկացած արմատ արմատ է նաև երկրորդի համար, և երկրորդի ցանկացած արմատ արմատ է նաև առաջինի համար:

1. Եթե հավասարման ձախ և աջ մասերը բազմապատկենք (կամ բաժանենք) զրոյից տարբեր միևնույն թվով, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

2. Եթե հավասարման որևէ անդամ հավասարման մի մասից տեղափոխենք մյուս մաս, փոխելով նրա նշանը, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

3. Եթե հավասարման ձախ կամ աջ մասում կատարենք նման անդամների միացում, ապա կստանանք համարժեք հավասարում:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր հավասարումներն են անվանում մեկ անհայտով գծային հավասարում։

Մեկ անհայտով գծային հավասարում անվանում են այն հավասարումները, որոնց աջ և ձախ մասերը x փոփոխականի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ են կամ թվեր։

2․Ո՞ր հավասարումներն են անվանում համարժեք։

Երկու հավասարում կոչվում է համարժեք, եթե առաջինի ցանկացած արմատ արմատ է նաև երկրորդի համար, և երկրորդի ցանկացած արմատ արմատ է նաև առաջինի համար:

3․ k-ի և b-ի դեպքում kx+b=0 հավասարումը`
ա) ունի մեկ լուծում բ) լուծում չունի, գ) անթիվ բազմությամբ լուծումներ ունի:

4.Ընտրել առաջին աստիճանի −x−4=3−6x հավասարման անհայտի գործակիցը:

Ընտրել ճիշտ պատասխանը ա) 1 բ) 5 գ) 6 դ) 7

5.Նշել x+4=−2x հավասարման ազատ անդամը:

ա) −2 բ) 4 գ) 3 դ) 1

6․ Հետևյալ 1/3x = -2 հավասարման արմատը հավասար է.

x = -6

7․ Գտնել 3 − 2x = 3 (x − 1) հավասարման ազատ անդամը:

ա) 6 բ) 3 գ) 6/5 դ) 1 ե) −5

8․ Լուծել տրված հավասարումը՝ 2 (x + 11) = 0

x=-11

9․ Գտնել հետևյալ 3x = x հավասարման ազատ անդամը:

10․ x փոփոխականի ո՞ր արժեքի դեպքում է 6x − 18 տարբերության արժեքը հավասար 0-ի:

x=3

11.Քանի՞ արմատ ունի 3(x−1)+3x−1=4(2x+3) հավասարումը:

Հավասարումն ունի մեկ արմատ։

12.Արդյո՞ք 7-ը հանդիսանում է 9x+4=2x հավասարման անհայտի գործակից:

ա) այո բ) ոչ

13.Լուծել հավասարումը՝ −8−0.5x=8

x=-32

14.Գտնել 4(2−3x)+2=8x−4 հավասարման արմատը:

8−12x+2=8x−4
8+2+4=8x+12x
14=20x
x = 14/20 = 0.7

15.Գտնել 2x+6+3(4x+2)=8(x+3) հավասարման արմատը:

2x+12x-8x=24-6-6
6x = 12
x=12/6=2

116.Արդյո՞ք x²+3x−1=0 հավասարումը մեկ անհայտով գծային հավասարում է:

Ոչ

17.Թվարկվածներից ընտրիր այն հավասարումները, որոնք մեկ փոփոխականով գծային հավասարումներ են:

• x=6(x−2)+4
• 5x+72x−8=2
• 9x²=1
• x+3y=0
• 3x=0
• 5x−14+2x=x³

18. Համարժեք են արդյոք հավասարումները․

ա) 5x+15=0  և  9x+27=0, այո
բ) 15x-60=0 և x-4=0, այո
գ) 12x-144=0 և 9x+121=0, ոչ
դ) 62x+124=0 և  -7x=0, ոչ
ե) 25x-200=0  և  -x+8=0, այո
զ) x-1=0  և 5x+5=0, ոչ

19.Կազմել հավասարում և լուծելայն․

ա) x թվին գումարել են 6 և ստացել են 15։
x+6=15
x=15-6=9

բ) x թվից հանել են 13 և ստացել են 9։
x-13=9
x=9+13=22

գ) 37-ից հանել են x թիվը և ստացել են 15։
37-x=15
x=37-15=22

դ) 14-ին գումարել են x թիվը և ստացել են 28։
14+x=28
x=28-14=14

Թեմա՝ Սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ

Եռանկյան անկյունների գումարի թեորեմի չորրորդ հետևանքի համաձայն՝ անկյուններից կախված գոյություն ունեն եռանկյունների երեք տեսակներ:

Եթե եռանկյան երեք անկյունները սուր են, ապա եռանկյունը կոչվում է սուրանկյուն եռանկյուն:

Եթե եռանկյան անկյուններից մեկը բութ , ապա եռանկյունը կոչվում է բութանկյուն եռանկյուն:

Եթե եռանկյան անկյուններից մեկը ուղիղ է, ապա եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն:

Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ էջեր:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում սուրանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել սուրանկյուն եռանկյուն։

2. Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում բութանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել բութանկյուն եռանկյուն։

3. Ո՞ր եռանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել ուղղանկյուն եռանկյուն։

4․ Ինչպե՞ս են կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը։

ներքնագիծ։

5․ Կարո՞ղ է եռանկյունն ունենալ երկու բութ անկյուն: Պատասխանը հիմնավորել։

Ոչ որովհետև բութ անկյունը 90 աստիճանից մեծ է, իսկ երկու բութ անկյան գումար ստացվում է 180 աստիճանից բարձր։

6․Կարո՞ղ է եռանկյունն ունենալ երկու ուղիղ անկյուն: Պատասխանը հիմնավորել։

Ոչ որովհետև ուղիղ անկյունը 90 աստիճան է, իսկ երկու ուղիղ անկյան գումար ստացվում է 180 աստիճան, բայց այս դեպքում չի լինում երրորդ անկյունը։

7․ Եռանկյունն ունի 32 աստիճանի երկու անկյուն: Տրված եռանկյունը՝

• բութանկյուն է:
• ուղղանկյուն է:
• սուրանկյուն է:

8․ Հայտնի է, որ, MLK-ն եռանկյան անկյուններից ∠MLK=51° է: Նշել MLK եռանկյան տեսակը.

• սուրանկյուն
• բութանկյուն
• հնարավոր չէ պարզել
• ուղղանկյուն

9․ Տրված է NEC եռանկյունը: ∠N=27°, ∠E=99°: Որոշել եռանկյան տեսակը։

Եռանկյունը բութանկյուն է, քանի որ ∠E-ն 90 աստիճանից բարձր է, այն չի կարող լինել ուղղանկյուն եռանկյուն կամ սուրանկյուն եռանկյուն։

10․Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյուններից մեկի մեծությունը 35° է:

Որոշել եռանկյան գագաթի անկյան մեծությունը և եռանկյան տեսակը։

35°+35°=70°

180°-70°=110°

110^o գագաթի անկյան մեծությունը

Եռանկյունը հավասարասրուն է։

11․Տրված է KEG եռանկյունը և նրա ∠GKE և ∠GEK անկյունների կիսորդները:

Որոշել կիսորդների կազմած ∠KME անկյունը, եթե ∠GKE=48° և ∠GEK=58°-ի:

Տրված է KEG եռանկյունը և նրա∡GKE և ∡GEK անկյունների կիսորդները:

Որոշիր կիսորդների կազմած∡KME անկյունը, եթե ∡GKE=48° և ∡GEK=58°-ի: