Month: February 2026

Պարապմունք 3.
11. Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը 30 է, իսկ էջերից մեկը՝ 5։

5x:2=30

x=12

1.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 
r=5+12-13/2 = 4

2.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

3.Գտնել եռանկյան պարագիծը։

12. Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը 96 է, իսկ էջերից մեկը՝ 12։

1.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

2.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

3.Գտնել եռանկյան պարագիծը։

13. Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը 150 է, իսկ էջերից մեկը՝ 20։

1.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

2.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

3.Գտնել եռանկյան պարագիծը։

14. Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը  է84, իսկ էջերից մեկը՝ 24:

1.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

2.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

3.Գտնել եռանկյան պարագիծը։

15.  Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը 54 է, իսկ էջերից մեկը՝ 12։

1.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

2.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։ 

3.Գտնել եռանկյան պարագիծը։

16. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը  12 է, իսկ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը այդ էջից 4, 5 է։

1.Գտնել եռանկյան պարագիծը։
2.Գտնել եռանկյան մակերեսը։
3.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։

17.  Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը  7 է, իսկ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը այդ էջից 12 է։

1.Գտնել եռանկյան պարագիծը։
2.Գտնել եռանկյան մակերեսը։
3.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։

18.  Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը  16 է, իսկ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը այդ էջից 6 է։

1.Գտնել եռանկյան պարագիծը։
2.Գտնել եռանկյան մակերեսը։
3.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։

19.  Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 4 է, իսկ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը այդ էջից 1,5է։

1.Գտնել եռանկյան պարագիծը։
2.Գտնել եռանկյան մակերեսը։
3.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։

20.  Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը  12 է, իսկ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը այդ էջից 3, 5 է։

1.Գտնել եռանկյան պարագիծը։
2.Գտնել եռանկյան մակերեսը։
3.Գտնել ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծած  շրջանագծի շառավղի երկարությունը։

1. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են՝ 16 և 12:

1) Գտնել եռանկյան պարագիծը:

16×16=256

12×12=144

256+144=400

400 = 20

16+12+20=48

2) Գտնել ներքնաձիգի միջնակետի հեռավորությունը ուղիղ անկ յան գագաթից:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

2. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են՝ 5 և 12:

1) Գտնել եռանկյան պարագիծը:

2) Գտնել փոքր միջնագծի երկարությունը:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարու– թյունը:

3. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են՝ 15 և 20:

1) Գտնել եռանկյան պարագիծը:

2) Գտնել ներքնաձիգի միջնակետի հեռավորությունը ուղիղ անկյան գագաթից:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

4. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են՝ 7 և 24:

1) Գտնել եռանկյան պարագիծը:

2) Գտնել եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթի հեռավորությունը արտագծած շրջանագծի կենտրոնից:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարու-թյունը: 

5. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են՝ 9 և 12:

1) Գտնել եռանկյան պարագիծը:

2) Գտնել եռանկյանը՝ արտագծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը ուղիղ անկյան գագաթից:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

6. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 15 է, իսկ ներքնաձիգը՝ 25: /

1) Գտնել եռանկյան մակերեսը։

2) Գտնել եռանկյանը՝ ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարու-թյունը:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնի հեռա– վորությունը ուղիղ անկյան գագաթից:

7. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 3 է, իսկ ներքնաձիգը՝ 5:

1) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

2) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարու– թյունը:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը ուղիղ անկյան գագաթից:

8. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 6 է, իսկ ներքնաձիգը՝ 10:

1) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

2) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը ուղիղ անկյան գագաթից:

9. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 20 է, իսկ ներքնաձիգը՝ 25:

1) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

2) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկարությունը:

3) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը ուղիղ անկյան գագաթից:

10. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 7 է, իսկ ներքնաձիգը 25 է:

1) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

2) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավղի երկա– րությունը:

Խառը խնդիրներ կրկնողության համար

1. GEOGEBRA ծրագրով գծիր կանոնավոր վեցանկյուն,  գտիր յուրաքանչյուր անկյան աստիճանային չափը։

2. Ի՞նչ բանաձևով են հաշվում  կանոնավոր տասնանկյան բոլոր անկյունների աստիճանային գումարը։ Գտիր յուրաքանչյուր անկյան աստիճանային չափը։

3. GEOGEBRA ծրագրով գծիր ուռուցիկ քառանկյուն, գծիր բոլոր անկյունագծերը, քանի՞ անկյունագիծ ստացար։

4.Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 12 սմ է, իսկ մյուս կողմը 5 սմ-ով կարճ է դրանից։ Գտնել զուգահեռագծի պարագիծը։

5.Ինչի՞ է հավասար զուգահեռագծի կից անկյունների գումարը։

6.Զուգահեռագծի պարագիծը 54սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե  երկու կողմերի տարբերությունը 7սմ է:

7.ABCD զուգահեռագծի մեջ Օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։  Գտեք BO և ОC-ն, եթե BD=12, AC=17:

8. ABCD զուգահեռագծի  A անկյան  կիսորդը  BC հատվածում հատում է k կետում  և տրոհում է  15 սմ  և 9սմ  հատվածների։ Գտի՛ր զուգահեռագծի պարագիծը ։

9.Ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից 4սմ է, իսկ փոքր կողմից՝ 6սմ։ Գտեք ուղղանկյան պարագիծը։

10.Տրված է ABCD սեղան, որտեղ  <A=37°, <C=121°: Գտիր՝ <B և <D-ն։

11.Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե ∠A = 29°, ∠C = 117° է :

12. Սեղանի հիմքերի հարաբերությունը հավասար է 2:7: Հաշվիր սեղանի մեծ հիմքը, եթե նրա փոքր հիմքը հավասար է 12 սմ:

13. Սեղանի հիմքերն  են 30սմ և 20սմ։ Գտեք սեղանի միջին գծի երկարությունը։

14. Գտե՛ք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե  A(1;-3), B(1; 2):

15. Գտե՛ք A և B ծայրակետերով հատվածի միջնակետի կոորդինատները, եթե A(2; 3), B(-2; 1):

Պարապմունք 3.
Թվաբանական պրոգրեսիա։
Կարևոր։
Հատկություն 1․
Հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է. նշանակում է, որ նրա յուրաքանչյուր անդամ հավասար է իր երկու հարևանների (եթե ունի այդպիսիք) միջին թվաբանականին:
Օրինակ՝ 3, 8, 13, 18, …
8=(3+13)/2
13=(8+18)
—————–
Հատկություն 2: Եթե a1 , a2, …, an,  … թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը d է, ապա նրա n-րդ անդամը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ an= a1 + d(n-1):

Առաջադրանքներ։
1.Տրված է 3, 7, 11, … թվաբանական պրոգրեսիա։ Գտնել տարբերությունը՝ (d)։

n+4

2.Թվաբանական պրոգրեսիայի  առաջին անդամը a₁ = 5 է, իսկ տարբերությունը՝ d = 3։ Գտնել 10-րդ անդամը (a₁₀)։
3.Գտնել x-ը, եթե 8, x, 18 թվերը կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։
4.Տրված է aₙ = 2n + 5 բանաձևով սահմանված հաջորդականությունը։ Հաշվել առաջին երեք անդամները և ստուգել՝ արդյո՞ք այն թվաբանական պրոգրեսիա է։
5.Թվաբանական պրոգրեսիայի a₁ = 12 և a₂ = 9։ Գտնել a₅-ը։
6.Հայտնի է, որ a₇ = 25 և d = 4։ Գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը (a₁)։
7.Գտնել 15, 12, 9, … թվաբանական պրոգրեսիայի 21-րդ անդամը։
8.թվաբանական պրոգրեսիայի երեք հաջորդական անդամներն են`
x − 1, 10, x + 7։ Գտնել x-ը։
9. Գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի a₁-ը և d-ն, եթե
a₃ = 10 և a₄ = 14։
10.Քանի՞ անդամ ունի 2, 5, 8, … , 29 թվաբանական պրոգրեսիան։
11.Թվաբանական պրոգրեսիայի a₁ = −3 և d = 0,5։ Ո՞ր համարի անդամն է հավասար 7-ի։
12.Տրված են թվաբանական պրոգրեսիայի a₁₀ = 20 և a₁₂ = 30 անդամները։ Օգտվել միջին թվաբանականի հատկությունից՝ գտնել a₁₁-ը։
13.Գտնել x-ը, եթե 2x, x + 3, 10 թվերը կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա:
14.Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին անդամը  a₁ = 10 է, իսկ
a₂₀ = −28։ Գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը (d)։
15.Գտնել 100, 93, 86, … .թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին բացասական անդամը։

Թեմա՝ Թվաբանական պրոգրեսիա
Թվաբանական պրոգրեսիա է կոչվում այն հաջորդականությունը, որի յուրաքանչյուր անդամը, սկսած երկրորդից, ստացվում է իր նախորդին գումարելով միևնույն թիվը:
Այսինքն, a1 , a2,  …, an,  …հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա, եթե գոյություն ունի այնպիսի d թիվ, որ
n = 1, 2 ,…:an+1  =an +d
Օրինակ` 1, 2, 3, 4… հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է, որովհետև նրա յուրաքանչյուր անդամին 1 գումարելով կստանանք նրա հաջորդ անդամը։
Օրինակ` 100, 150, 200, 250,… հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է, որովհետև նրա յուրաքանչյուր անդամին 50 գումարելով կստանանք նրա հաջորդ անդամը։
Օրինակ`  1, 2, 6 հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա չէ, որովհետև նրա երկրորդ անդամը առաջինից ստանալու համար պետք է առաջինին գումարենք 1, իսկ այդ 1-ը գումարելով երկրորդին՝ երրորդ անդամը չենք ստանա:
Այն թիվը, որ գումարում ենք թվաբանական պրոգրեսիայի անդամներին՝ հաջորդ անդամը ստանալու համար, կոչվում է պրոգրեսիայի տարբերություն` d:
Վերը գրված առաջին օրինակ  տրված պրոգրեսիայի տարբերությունը՝ d=1 է:
Երկրորդ օրինակում՝ d=50:
Այլ օրինակ․
Զույգ թվերը նույնպես կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա, որի տարբերությունը՝ d=2:

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Տրված է 5, 10, 15, 20… հաջորդականությունը: Արդյո՞ք սա թվաբանական պրոգրեսիա է: Եթե այո, ինչի՞ է հավասար d-ն:

Այո, որովհետև d = 5
2. Թվաբանական պրոգրեսայի օրինակներ բեր։

8, 16, 24, 32, 38, …….

3. Հաջորդականության առաջին անդամը a1 =7 է, իսկ տարբերությունը՝ d = 4: Գրիր այս պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները:

7, 11, 15, 19, 23, …….

4. Նշվածներից ո՞ր հաջորդականությունն է թվաբանական պրոգրեսիա.

ա) 1, 2, 4, 8, 16, 32,

բ) 10, 7, 4, 1…

գ) 2, 2, 3, 3…
դ) 120, 127, 134, 141, 148

5. Կարո՞ղ է արդյոք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը (d) լինել 0: Բեր օրինակ:

6. Տրված է a1  = 12  և a2  = 8: Գտիր d-ն և գրիր հաջորդ երկու անդամները՝ a3, a4:

7.Բեր թվաբանական պրոգրեսիայի հինգ օրինակ, նշիր միայն երեք անդամները, յուրաքանչյուր օրինակում ի՞նչ օրինաչափություն ես նկատում։

8. Գրիր թվաբանական պրոգրեսիայի օրինակ, նշիր առաջին, երկրորդ անդամները։ Ինչպես հաշվել 3 -րդ, 5-րդ, 7-րդ, 10-րդ անդամները առաջին անդամի և տարբերության օգնությամբ։ Ի՞նչ օրինաչափություն ես տեսնում։  Գտիր n-րդ անդամի բանաձևը։

9. Հնարավոր է կազմել թվաբանական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը 3 է, հինգերորդ անդամը՝ 8, իսկ վեցերորդ անդամը՝ 10:

10. Գտեք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին hինգ անդամները, եթե.
a1=8,  d=10
a2=15, d=30
a3=10,  d=4
a4=0,   d=15
a5 20,  d=-2

10. Գտեք x-ը, եթե հայտնի է, որ հաջորդականությունը կազմում է թվաբանական պրոգրեսիա.

  4, х, 9,

15, -30, x,

   х, -4, -6,

    1, x, 2x: